具体的に、納i=1〜n]A_i = n^2 A_nに代入して、順次A_iを求めていくと、
A_1 = (1/1)A_1,
A_2 = (1/3)A_1,
A_3 = (1/6)A_1,
A_4 = (1/10)A_1,
A_5 = (1/15)A_1 ・・・となる。
ここで、A_n = (1/a_n)A_1とおくと、
a_1 = 1, a_2 = 3, a_3 = 6, a_4 = 10, a_5 = 15,・・・となっているのが分かる。
即ち、a_nは階差数列をなしている。
b_1 = a_2 - a_1 = 2,
b_2 = a_3 - a_2 = 3,
b_3 = a_4 - a_3 = 4,
b_4 = a_5 - a_4 = 5,・・・より、b_i = i+1となる。
故に、n≧2の時、a_n = a_1 + 納i=1〜(n-1)]b_i = 1 + 納j=1〜(n-1)](i+1) = 1 + {(n-1)n}/2 + n-1 = {n(n+1)}/2
となり、またこれはn=1の時も満たす。
よって、A_nの一般項はA_n = (1/a_n)A_1 = (1/[{n(n+1)}/2])A_1 = 2A_1/{n(n+1)}と”予想”できる。
以下、数学的帰納法によりこれを証明してOK。


これは面倒かもしれないが、具体的に調べて予想を立てるのも重要な解法のひとつ。
方針が立たないときは、こいういうのも1つの手。