割り算の筆算のあまりについて考えてみる。例えば1/7ならば
商の列
1,4,2,8,5,7　に対するあまりは、
3,2,6,4,5,1　となる。
これは７で割った余りなので当然７−１、すなわち６以下で、１以上の自然数でありんす。

普通の合成数に対しては、例えば1/21＝(1/3)*(1/7)を考えると、
これが、どちらか長いほうの循環節までの長さしか持たないのはー自明かなぁ？(証明は面倒･･･)
なので、合成数の循環節はその最大の素因数pmaxに対して、せいぜいpmax-1の長さしか持たない、と。

んで、0から18までの数列に対して、掛け算を19を法に合同な条件で考えると、
1倍＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
2倍＝{0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,1,3,5,7,9,11,13,15,17}
3倍＝{0,3,6,9,12,15,18,2,5,8,11,14,17,1,4,7,10,13,16}
法が素数pならば、出てくる数はp-1個で、順番は変わってもそれぞれ1回ずつ出現。

1/19の場合は、余りの巡りは10進数なので、最初の数列に10をかけた数列となり、
10倍＝{0,10,5,12,6,3,11,15,17,18,9,14,7,13,16,8,4,2,1}
(実際は0が出ない。0が出た＝割り切れたということだから。)

長くなりすぎたのでこのへんで切っとこう。