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bを2以上の整数とする。正の整数nに対してb^n-1がどういうときに現れるか考えてみよう。
0.123451234512345…というような、循環節が5桁の循環小数を計算してみると、
これは12345/10^5+12345/10^10+12345/10^15+…=0.12345/(1-1/10^5)=12345/99999というようになる。
循環小数から等比級数に変換して和を求めるときにb^n-1が現れるのだ。
また、ある2以上の整数pで1を割るときの商を循環小数で表したときに、
最小の循環節の長さが(p-1)桁になるときは、
筆算で計算したときの余りが(p-1)個現れるはずなので、
(p-1)桁の循環節の部分をとると、
10^(p-1)/(p*(10^(p-1)-1))の倍数になるのだ。