>>693
Hの位数をh、Kの位数をk、(G:H)=s、(G:K)=tとおくと
|G|=h*s=k*t･･･※
※よりs*hはtで割り切れる。sとtは互いに素だから、hがtで割り切れる。
また同様に※よりk*tはsで割り切れる。再び、tとsは互いに素だがら、kがsで割り切れる。

|G|/(st)=h/t=k/s=n(nは自然数)と書ける
よって、|H|=n*t、|K|=n*s、|G|=n*s*t
|HK||Ｈ∩K|=|Ｈ||K|=n^2*s*t
H∩KはHとK共通の部分群だから、H∩Kの位数|H∩K|は|H|と|K|の公約数
よって|H|と|K|の最大公約数の約数となります。
また、|H|=n*t、|K|=n*sかつ、tとsは互いに素だから|H|と|K|の最大公約数はnとなります。
したがって、|H∩K|はnの約数となる
|HK|=n^2*s*t/(|H∩K|)=n*s*t*{n/(|H∩K|)}≧n*s*t=|G|･･･●

HとKはGの部分群だから明らかにHK⊂G･･･◎
したがって、|HK|≦|G|・・・○
◎よりHK⊂Gかつ○と●より|G|=|HK|となるので、G=HKとなる。