a1,a2,..,anが一次独立、かつbi=(pi1)a1+(pi2)a2…,+(pin)anであるとき
b1,b2,…,bnが一次独立であるための必要十分条件は行列P=(pij)が正則である。
この定理を既知として
a1,a2,…,anが一次独立ならばa1+a2,a2+a3,…,an+a1はnが奇数のときは一次独立
nが偶数の時は一次従属であることを示せの問題解説で


detP= |1 1 0 …0 0| detP=0(nが偶数)　detP=2(nが奇数)
|0 1 1 …0 0|
|…………… |
|1 0 0 …0 1|

この行列式はなぜnが偶数の時は0でnが奇数の時は2になるのですか？

また上の定理を使わないで奇数の時は一次独立を示すやり方はありますか？