>>506
後半：
AB=6E だから AとBは交換可能。
Ｘ＾２＋ＡＸ＋Ｂ＝０　の式の転置を取ると X'^2+X'A'+B'=0
X,A,B はすべて対称行列だから X^2+XA+B=0
もとの式との差を取って AX=XA
このとき B=-X^2-AX も明らかにXと交換可能。
以上より　X,A,B はすべて同じ行列Uで対角化可能である。
U=(1/√5)*
　2　1
　-1　2
Xの固有値をα、β、(Y=U'XU=diag[α,β])
とおけば
diag[α^2,β^2]+diag[-2,3]*diag[α,β]*diag[-3,2]=O
これを解くと (α,β)=(-1,-1),(-1,-2),(3,-1),(3,-2)
X=UYU'= ・・・　計算はまかせた。