>>506
P'XPが対角行列であることなら↓こんな感じでしめせるけど。
Xの固有値をu,v,wとおく。（重複があるかもしれないが）
2X^2-5Xの固有値は2u^2-5u、2v^2-5v、2w^2-5wである。それが0,3,-3になるので
重複はない。よってXは対角化可能である。そこでPを
X=Qdiag[u,v,w]Q'とおく。2u^2-5u=0、2v^2-5v=3、2w^2-5w=-3として一般性を
うしなわない。このとき
2X^2-5X=Q(diag[0,3,-3])Q'=Pdiag[0,3,-3]P'。
よってPQ'とdiag[0,3,-3]は可換であるからPQ'は対角行列。
よってP'XP=PQ'diag[u,v,w]P'Q=diag[u,v,w]。□
P'XPが対角行列であることはそんな自明じゃないような･･･