仮に「P-{2}∉Qにはならない」とする。
即ちP-{2}∈Qであるとする。
P-{2}={3, 5, 7, 11, ...}なので、従って{3, 5, 7, 11, ...}∈Qである。
定義よりQはNの各元の素因数を指数を使わずに並べた集合の集合であったから、
{3, 5, 7, 11, ...}∈Qより、{3, 5, 7, 11, ...}は
Nのある元の素因数を指数を使わずに並べた集合である。
ある元とは3×5×7×11×…に他ならない。
これはNの元でないので、よって矛盾。
従って背理法によりP-{2}∉Qが示された。