以下、α0=アレフゼロとする。

wikiなどから取ってきた定義です。
・無限集合は集合である。
・無限集合には濃度が存在し、最小の濃度はα0である。
・ある無限集合の濃度がα0であることはその集合が可算であることと同値である。
・可算集合の部分集合は高々可算である。
・べき集合の濃度はもとの集合の濃度より常に大きい。（∵対角線論法による。）

ここから矛盾を導きます。
素数の集合Pを
P = {2,3,5,7,11,13,,,,,,,,}

とする。
素数は無限に存在するのでPは無限集合で、ある濃度を持つ。
P⊂N
であるからPは可算、従ってPの濃度はα0。

次にNに0を含めたN'を
N'={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,,,,,,,}
として
それに対して
Qを次のように定義する。
Q={{},{1},{2},{3},{2,2},{5},{2,3},{7},{2,2,2},{3,3},{2,5},{11},{2,2,3},{13},{2,7},{3,5},,,,,,}
QはNの各元の素因数を指数を使わずに並べた集合の集合である。（但し0→{},1→{1}とする。）
（ここで、元の重複が許されないなら{2,2,2}→{8},{2,2,3}→{4,3}などとしても以下の反証に影響は無い。）