やっと宗教っぽくない人が来た。

ペアノの公理はいいよ。Nが無かったら、極限操作もできない。
Nは丸ごと認めざるを得ない。
だが、要は偶数集合や他の無限集合の扱い方がおかしい。
人は有限的な存在なのに、一気に無限回の処理が可能になっている。

じゃあ、
その命題関数P(x)が真になるようなxの集まりとして集合を定義するなら、
P={x|P(x)}
って事だろ?
例えばP(x)=(x ≡ 0 mod 2)
ならPは偶数全体の集合になるな。
なるほど。ここまではx∈Nは無限個あるが、無限回の操作は一度もしなくて、偶数全体を定義できる。
これは無限集合の定義に使える。
だが、Pの実体がただの命題関数であるならば、どうやって要素を取り出す?
一対一対応を定義するためにはPから全ての要素を取り出せなきゃいけないよな。

∈ を関数P(x)と考えると、P(e)を計算するのは簡単だが、
その逆演算（P(x)を満たすxを返す処理）は必然的に無限個の要素を返すことになる。

無限回の操作を一度もしないで、どうやって
無限個の要素同士の一対一対応を考えられるのか?

もう少し詳しく。