＞(a+b+c+1)(a+1)+bc
＞↑が↓になることに納得できない。
＞(a+1)(c+a+b+1)+bc

ここはおそらく（）の中の順番と、（）の位置を逆にしたんだと思います。
　(a+b+c+1)(a+1)+bc
＝(c+a+b+1)(a+1)+bc　……(a+b+c+1)の中の文字を並べ替えました
＝(a+1)(c+a+b+1)+bc　……(c+a+b+1)と(a+1)の位置を入れ替えました


私なりに解いてみると

　(a+b+c+1)(a+1)+bc
＝(a+1+b+c)(a+1)+bc ……（a+b+c+1）→（a+1+b+c）に並べ替えました

ここで　a+1＝X　と置くことにします

＝（X+b+c)X+bc
＝｛X+（b+c)}X+bc　……（X+b+c）→｛X+（b+c）｝考えやすくするために、さらに中を括弧でくくりました

　　　　ここで｛X+(b+c)｝Xこの部分について考えます。
　　　　　｛X+(b+c)｝X
　　　　　　＝X＾2＋(b+c)X
　　　　展開したのですが、どうでしょうか。
　　　　＾2というのは2乗のことです。
　　　　（X+Y)Y＝X＾2＋XY　ですよね。それと同じです

本題に戻ります。さっきやった｛X+（b+c)｝X＝X＾2＋(b+c)X　より
＝｛X+(b+c)｝X+bc
＝X＾2＋(b+c)X+bc