解いていったのですが答えがあわずどなたかどこが間違ってるか指摘してください…
∫∫[D]{1/√(x^2+y^2)((1+x^2+y^2))^3}dxdy
D:-∞<x,y<∞

自分の解答
x=rcosθ,y=rsinθ　とおいて　-∞<r<∞,0<θ<2π
dxdy=rdxdy
{1/√(x^2+y^2)((1+x^2+y^2))^3=(1+r^2)^(-3/2) となるので

∫∫[D]{1/√(x^2+y^2)((1+x^2+y^2))^3}dxdy
=∫[-∞→∞]dr∫[0→2π](1+r^2)^(-3/2)dθ
=2π∫[-∞→∞](1+r^2)^(-3/2)dr
r=tanφ　とおいてdr=1/(cosφ)^2dφ　-π/2<φ<π/2　より
2π∫[-∞→∞](1+r^2)^(-3/2)dr
=2π∫[-π/2→π/2]cosφdφ
=4π
となっていまいます…
ちなみに答えは2πです。よろしくお願いします。