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・存在することの証明（数学的帰納法）について
正しくありません。帰納法になってません。構成手順を書いたものかと思いますが、いくら大きな自然数をとっても、それよりも大なるnを持ち出して、n!がそれを約数として持つといいたいのでしょうが、
「自然数」は変数ではないので、固定された値です。
nよりも小さい自然数は全て約数ですが、n!より大なる自然数は全て約数ではありません。ここでnをもっと大きく取ればいいじゃないかって思うかもしれませんが、
nは固定された値ですし、この議論は任意の自然数nに対して成り立つので、すべての自然数で割り切れるわけではありません。