・存在することの証明（数学的帰納法）
1からnまでのすべての自然数で割り切れる自然数kがあるようなnを考えると
k*(n+1) は1からn+1までのすべての自然数で割り切れる。
命題P(n)を、1からnまでのすべての自然数で割り切れる自然数が存在する、とすると
P(n)が真のとき、P(n+1)が真であることが示せた。
また、あきらかにP(1)は真である。
よって、任意の自然数Nに対して、P(N)が真である。

・ないことの証明
任意の自然数で割り切れる自然数Nがあるとする。
NはN+1で割り切れないため、仮定に矛盾する。
よって、任意の自然数で割り切れる自然数は存在しない。