次のように与えた集合族Ｓに対し∪[Ａ∈Ｓ]Ａを求めよという
問題でＳ＝｛Ｄ（０，０，ｒ）｜０＜ｒ＜√２｝
ただしＤ（０，０，ｒ）＝｛（ｘ，ｙ）∈Ｒ^2｜ｘ^2＋ｙ^2＜ｒ^2｝
となっています。
実際，∪[Ａ∈Ｓ]Ａ＝Ｄ（０，０，√２）になると思うのですが，
まず∪[Ａ∈Ｓ]Ａ⊂Ｄ（０，０，√２）の証明は
ａ∈∪[Ａ∈Ｓ]Ａのとき
∃Ｓ，ａ∈Ｓ＝Ｄ（０，０，ｒ）⊂Ｄ（０，０，√２）
よってａ∈Ｄ（０，０，√２）
∴∪[Ａ∈Ｓ]Ａ⊂Ｄ（０，０，√２）
このように考えたのですが、これできちんとした証明になっているの
ですか？