こんばんわ。今、複素解析のΓ関数を勉強しています。
そこでどうしても２箇所わからないところがあり、自分でも何回も
疑問解決しようと頑張ったのですがこんな夜中になっても一向に解けないので
みなさまの知恵を借りたく参りました。

疑問１
Eulerの表示式Γ(z) = 1/z *Π[n=1→∞]{ (1+ 1/n)^z * (1+ z/n)^(-1) }を書き直して
Γ(z) = lim[n→∞] n^z * n！/z(z+1)(z+2)･･･(z+n)となる・・・という風に書いてあるのですが、
自分で実際計算するとΓ(z) = lim[n→∞] (n+1)^z * n！/z(z+1)(z+2)･･･(z+n)となってしまい、
(n+1)余計になってしまいますorz
(1+ 1/n)^zをnまでかけると{(1+1)(1+ 1/2)(1+ 1/3)(1+ 1/4)(1+ 1/5)･･･(1+ 1/(n-1))(1+ 1/n)}^z
={(2/1)(3/2)(4/3)(5/4)(6/5)･･･(n/(n-1))(n+1/n)}^z
=(n+1)^z　ってなりませんか？

疑問２
Γ(z)の積分表示の式を証明するときの式変換で、
lim[n→∞] n^z *∫[0→1](1-t)^n * t^(z-1) dt = lim[n→∞]∫[0→n](1- t/n)^n * t^(z-1) dt
というのがあるのですがどうしても式変形がうまくいきません。
積分範囲を考えて、tをntに置換すると(1- t/n)^n が一向に生まれなく、
tをt/nに置換すると内部の式はうまくいっても積分範囲は0→1/nとなってしまい、
お手上げ状態ですorz

こんなへたれな自分ですがご教示頂けたら、と思います。
お願いいたします。

夜中（明け方？ｗ）に長文失礼しました。