lim a_n = 0って普通に解釈すると
極限が存在して，かつ0に等しい，ということですから
「確かに 級数が収束する⇒極限が存在して，かつ0に等しい」
の対偶は
「極限が存在しないか，存在して0でない⇒級数が発散する」
だから、対偶じゃないですね．
でも元の主張より弱くなっているだけだから，
別に0点にすることは無いんじゃないかな．
問題が違って，「対偶を取ると，lim(n→∞)A(n)が存在しないならば
Σ(n=1→∞)A(n)が発散することが分かる．」
だったら0点にはならなかった可能性が高いと思います．