どーしても自分の解法の落ち度が判りません、どこが謝ってるのでしょうか？教えてください。

関数f(x)=∫[x=x,2x+1]1/{(t^2)+1} dtの最大値を求めよ。

【自分の回答】
f'(x)={2}/{4(x^2)+4x+2}-{1}/{(x^2)+1}
={-x(x+2)}/{((x^2)+1)(2(x^2)+2x+1)}
f'(x)=0⇔x=0,-2
分母≧0より 分子の符号変化に基づいて増減表をつくると -2で極小、0で極大

【模範解答】
2x+1≧x⇔f(x)≧0、2x+1≦x⇔f(x)≦0
よって最大値はf(x)＞0すなわちx>-1のときにおこり
-1<x<0のときf'(x)>0,0<xのときf'(x)<0でありf(x)はx=0で極大かつ最大である

自分の解法の誤りがわからない上、模範解答の一行目がなんで成り立つかもわかりません
宜しくお願い致します