>>737
相異なる2点ABを通る直線(もちろん、1本しかない)上の任意の1点をPとする。
PがAB上にある必要十分条件は、ある実数tが存在して、AP↑=tAB↑を満たすことである。
始点をOに変換すると
OP↑=(1-t)OA↑+tOB↑
係数の和が1になっているでしょ？
逆にその和が1になっているとき、片方をtとおいて、逆の操作をすれば直線上にあると分かる。

基本ベクトルに全部置き換えて考えるのは、座標もそう。x軸とy軸が基本ベクトルに相当する。ベクトルは平面では、斜交座標(なす角度が90°とは限らない)になる。
一つの対象を考えるのに、複数の座標を混ぜて考えるのはややこしい。一つの座標(ものの見方)に統一するほうが一般には分かりやすいから。