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S_n をΣ{(-1)^n}*b_n の部分和とすると、b_n は単調減少だから
S_1 ≦ S_3 ≦ ... ≦ S_(2n-1) ≦ S_(2n+1) ≦ ... ≦ S_(2n) ≦S_(2n-2) ≦ ... ≦ S_4 ≦ S_2
が言えるので、limsupS_n, liminfS_n が共に存在し、limb_n = 0 なので両者は一致します。