群の準同型定理を勉強中です。
本の中に、
G：群、N：正規部分群(⊆G)、φ：G→G'(準同型)、a,b∈G、a'=a^(-1)として

φ(a)=φ(b)⇔φ(a'b)=e'⇔a'b∈N⇔aN=bN　(e'はG'の単位元)

とあったんですが、
最後の『a'b∈N⇔aN=bN』がどうして出てきたのか分かりません
知ってる方教えて下さい


あと、群の準同型定理の証明でWell-defined性が出てきたのですが、
なぜ正規部分群Nに非常にこだわるのでしょうか？
部分群だと何か行けないことが起きるのですか？