|0 1|
A=|2 1|
この行列をスペクトル分解しようとしています。
最終的にA=β1P1+β2P2と表したいです。
固有値が2,-1

β1=2,β2=-1とおきます。
P1=A-β1E/(β1-β2)より

P1=1/3|-2 1|
| 2 -1|

P2=A-β2E/(β2-β1)より

P2=1| 1 1|
| 2 2|

A=2P1+(-1)P2としてもＡとなりません。計算ミスでしょうか？

それともスペクトル分解そのものを理解できていいないのでしょうか？
仮にＤという行列があったとします。
Ｄは対角化可能とします。。対角化可能←→スペクトル分解可能なので
すべてのこのような行列に対角化せずにいきなりスペクトル分解しようとしてもよいのでしょうか？