>>328
S(n)=Σ_[k=0,n]ke^(-k) とおく。
e^(-1)S(n)=Σ_[k=0,n]ke^(-k-1)=Σ_[k=1,n+1](k-1)e^(-k)
差を取って
(1-e^(-1))S(n)=Σ_[k=1,n]e^(-k) - ne^(-n-1)
　　　　　　　　=e^(-1){1-e^(-n)}/{1-e^(-1)} - ne^(-n-1)
S(n)=e^(-1){1-e^(-n)}/{1-e^(-1)}^2 - ne^(-n-1)/{1-e^(-1)}
n→∞として
Σ_[k=0,∞]ke^(-k) = e^(-1)/{1-e^(-1)}^2 = e^2/(e-1)^2