Tohoku 6p 中段の式：脱字
Hom (A,B) → Π_i (A_i,B)
---> Hom (A,B) → Π_i Hom (A_i,B)

この前後の理解できなかったので原文を次の様に分解して理解しました。
再度、訳文を見直て、ご苦労されている事が良く判りました。

上の記述を再度考察すれば、ある対象 A を、対象の族 A_i の和と
して表現する、と云う概念を定義する事が出来る。それは、

射 u_i：A_i → A (全ての B∈C に対し、自然な対応 <-------修正
Hom (A,B) → Π_i Hom (A_i,B) が全単射となる) と、　　　　　↓
標準入射 A_i →＋_i A_i (ただしその名に反して必ずしも：：＋ は丸に+
単射ではない ) が付随する直和 ＋_i A_i と、
射の族 u_i： A_i → B_i の和である射、

(の三つ)で、対象 A を表現するという概念である。
もし u_i が全射ならそれらの和の射もまた同様に全射である。