ごめんなさい。{x,y} の条件に次を追加する必要があった。
(*) x,y の中点は、V_β の2点の中点と一致しない。


V_β∪{x,y}から4点 a,b,c,d を取ったとき、a-b≠c-d を示す。

a,b,c∈V_β で d=x のとき。
c,x の距離が V_β の2点 a,b の距離と一致するので、x,y の定め方に反する。

a,b の距離が r_β (=x,y の距離) となることはないので、
a,b∈V_β で c=x,d=y は起き得ない。

a,c∈V_β で b=x,d=y のとき、
a-x=c-d より a-c=x-y となるので上と同様。

a,d∈V_β で b=x,c=y のとき。(この場合が抜けていた)
a,d の中点と b,c の中点が一致してしまう。