q_k を
* q_0=q_1=q_2=1,
* q_k = (k-1)q_{k-1} + n(n-1)q_{k-2} (k>=3)
を満たす数列として、

数列 p_k を
* p_0=1,p_1=0,p_2=1
* p_k = k(k-1)(n-2)(n-3)・・・(n-k+1)q_k/{n(n-1)}^{k-1} (k>=3)
#最初の二つだけが k になってるのは間違いではない
として定義する

で、期待値が
a
Σp_k
k=1

になる。