>>399
やっとできたと思ったら答えでてたのか。せっかくなので書いてみる。TeXじゃないし。
納p+q+r=n]C[p+q,p]C[q+r,q]C[r+p,p]をanとおく。
非負整数nに対して多項式Pnを
　Pn=納r=0,n](xy(x+y+2))^(n-r)･((x+1)(y+1))^r
とおく。まずこの(xy)^nの項の係数がanに等しいことをしめす。
(x+y+2)^(n-r)=(x+1+y+1)^(n-r)に２項定理を使って
　Pn=(xy)^(n-r)納r=0,n]納p=0,n-r]C[n-r,p](x+1)^(p+r)･(y+1)^(n-p)
であるが(x+1)^(p+r)･(y+1)^(n-p)の(xy)^rの係数は
C[p+r,r]C[n-p,r]に等しい。よって主張が得られた。
容易に
　Pn=xy(x+y+2)P[n-1]+((x+1)(y+1))^n――(1)
　　=(x+1)(y+1)P[n-1]+(xy(x+y+2))^n――(2)
であるから(xy)×(2)-(1)により
(xy-1)Pn=(xy)^2-xy)P[n-1]+(xy(x+y+2))^n-((x+1)(y+1))^n
　∴Pn=xyP[n-1]+((xy)^(n+1)･(x+y+2)^n-((x+1)(y+1))^n)/(xy-1)
そこで右辺第２項の(xy)^nの項を計算する。
　((xy)^(n+1)･(x+y+2)^n-((x+1)(y+1))^n)/(xy-1)
　=((xy)^n+(xy)^(n+1)+･･･+1)(x+y+2)^n+((x+y+2)^n-((x+1)(y+1))^n)/(xy-1)
であるが第２項はx,yに関する次数が2n未満の多項式であるので(xy)^nの項は現れない。
第１項の(xy)^nの係数は(x+y+2)^nの(xy)^iの形の項の係数の総和にひとしい。
それはx=t^2,y=1/t^2を代入したときの定数項に等しいがそれは
(x+y+2)^n=(t+1/t)^2nであるゆえC[2n,n]にひとしい。
以上よりPn-xyP[n-1]の(xy)^nの項の係数はC[2n,n]に等しい。
P0=1の定数項は1であるゆえC[0,0]に等しくよって以上により
an=納s=0,n]C[2s,s]となる。□