>>399
texでもないと証明が読めないのでtexで。(2)
上の式を(1)として
$m$に関する和を取るのだが、その前に$C$を$\bold C-\{1,t\}$でのhomotopy
equivalentな$D$で取り換えて、あとの都合上、$D$上で
$$\mid x-t \mid \geq\frac{1}{8}, \mid 1-x \mid \geq \frac{1}{8},
\mid x \mid <1$$
としたいのだが、これは$t$が十分$0$に近いときに可能なのでこの様に
$t$を取り換えておく。さらに必要なら$t$を小くとり、$D$上で
$$\mid t \frac{x^2-2x+t}{(1-x)(x-t)} \mid <1$$
となるようにとる。こうしておいて、$m\geq 0$に関して和をとれば、
\begin{align*}
& \sum_{q+r=m, q\geq 0, r\geq 0}\sum_{p\geq 0}\frac{(p+q)!}{p!q!}
\frac{(p+r)!}{p!r!}\frac{(q+r)!}{q!r!}t^{p+q+r} \\
= &\frac{1}{2\pi i}
\int_D\frac{dx}{(t-1)(x^2-x+t)} \\
=&\frac{1}{1-t}(1-4t^2)^{-\frac{1}{2}}
\end{align*}
ここで
$$(1-4t^2)^{-\frac{1}{2}}=\sum_{i \geq 0}\frac{(2i)!}{i!i!}t^{2i}$$
をもちいて$t^n$の係数を比較して定理を得る。