>>22 すげー汚いし、有限性だけだけど

n が十分大きいとき、n を分割して逆数の和を 1 にするアルゴリズムを示す

(1) n≡0 (mod 2) なら a_1=8、そうでなければ a_1=9+72 として、
n_1=n-a_1 とする。n_1≡0 (mod 2) は明らか。
(2) n_1≡0 (mod 4) なら a_2=8、そうでなければ a_2=10+40 として、
n_2=n_1-a_2 とする。n_2≡0 (mod 4) は明らか。
(3) n_2≡0 (mod 8) なら a_3=8、そうでなければ a_3=12+24 として、
n_3=n_2-a_3 とする。n_3≡0 (mod 8) は明らか。
(4) n_3=8(29+n_4) と分割する。
任意の自然数は４個の(0を含む)平方数の和で表せるので、
n_4 = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2 とする。
(5) b_1〜b_4 に 0 が k 個 (0≦k≦3) 含まれているとする。
n_5=29-k, n_6=n_4+k とする。n_3=8(n_5+n_6)、
n_6 = c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + c_4^2 (c_i > 0) となる。

以上で n = a_1 + a_2 + a_3 + 8n_5 + 8Σc_i^2 と分割できた。

(6) a_1,a_2,a_3 は分割して逆数の和を 1/8 にできる。
(7) 26≦n_5≦29 で、26〜29 は良い数。
(26=4+4+6+6+6, 27=3+6+6+6+6, 28=4+4+4+8+8, 29=2+3+12+12)
n_5 = Σk_i, Σ1/k_i = 1 とできるので、
8n_5 = Σ8k_i, Σ1/(8k_i) = 1/8 のように
8n_5 を分割して逆数の和を 1/8 にできる。
(8) 8c_i^2 を c_i 個の 8c_i に分割すれば、逆数の和を 1/8 にできる。

以上で a_1, a_2, a_3, 8n_5, 8c_i (1≦i≦4) をそれぞれ分割して、
逆数の和を 1/8 にできたので、
n を分割して逆数の和を 1 にできる。