接点を(x0,e^x0+1)とすると、接線の傾きはe^x0,切片をkとすれば
(e^x0+1-k)/(x0-0)=e^x0だから、k=e^x0+1-x0*e^x0で接線の式は
y=x*e^x0-x0*e^x0+e^x0+1。
y=0でx=x0-1-e^(-x0)。
接点とこのx軸上の点との長さLは
L(x0)=[{e^(-x0)+1}^2+{e^x0+1}^2]^(1/2)
dL(x0)/dx0=(1/2)*[{e^(-x0)+1}^2+{e^x0+1}^2]^(-1/2)*[-2*e^(-2*x0)-2*e^(-x0)+2*e^(2*x0)+2*e^(x0)]
極値はe^(2*x0)+e^(x0)=e^(-2*x0)+e^(-x0)でとる。
X＝e^(x0)と置けば、X^4＋X^3-X-1=0となって
(X-1)(X^3+2*X^2+2*X+1)=0
(X-1)(X+1)(X^2+X+1)=0
x0は実数だからXは正の数。つまりX=1でのみｄL(x0)/dx0は0となる。
（実はここにここでLは極小値を取る事をいわねばならない。）
この時、x0=0でLは2√2。
つまり、接点は（０，２）で線分の長さは２√２。