>>570
数式ぐらいまともに書け。

C: y=x^2 -2ax -b　Cは(1,4)を通る。
(1)4=1-2a-b
⇔b=-2a-3
(2)
i.　Cがx軸と異なる2点で交わる。
⇔f(x)=x^2-2ax-bと置いたとき、f(x)=0が異なる二つの実数解を持つ。
⇔D/4=a^2 - 1*(-b)>0
⇔a^2-2a-3>0　⇔　(a-3)(a+1)>0　⇔　-1<a<3
ii.　Cがx軸から切り取る線分の長さが2以下であるaの値の範囲
f(x)=0　⇔　x=a±√(a^2-2a-3)
∴2√(a^2-2a-3)<2
⇔√(a^2-2a-3)<1　両辺正より両辺二乗して　a^2-2a-3<1
⇔a^2-2a-4<0　⇔　1-√5<a<1+√5

(3)a>0よりf(x)=(x-a)^2 -a^2+2a+3
∴-1<f(a)<0
⇔-1<-a^2 + 2a + 3 <0
⇔a^2-2a-4<0かつa^2-2a-3>0
以下略