>>271
b_n=a_n^2-(2n-1)とおく。b_0=0、b_(n+1)=b_n+1/(b_n+2n-1)。
0≦b_n≦lognをしめす。b_n≧0はあきらか。右側の≦は帰納法でしめす。
n=1であきらか。n=kで成立するとして
b_(k+1)=b_k+1/(b_k+2k-1)≦b_k+1/(2k-1)≦logk+1/(2k-1)≦logk+1/k≦log(k+1)
(∵log(k+1)-logk=log(1+1/k)≦1/k。)よってすべての自然数で成立。
∴√(2n-1)≦a_n≦√((2n-1)+logn)≦√(2n-1)+logn。
（左側の≦はn=1で自明、n≧3では２乗して容易、n=2では√(1+log2）≦1+log2だがこれも容易)
よって納k=1,n]√(2k)≦納k=1,n]a_k≦納n=1,n](√(2k)+logk)。
ここで
納k=1,n]√(2k)≧(1/3)(2n)^(3/2)
納k=1,n]√(2k)+logn≦(1/3)(2n)^(3/2)+√(2n)+nlogn-n+logn
によりlim[n→∞]納k=1,n]a_k/n^(3/2)=(1/3)2^(3/2)