★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
0001１３２人目の素数さん
2005/05/22(日) 18:00:00解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
関連スレ
面白い問題おしえてーな 九問目
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
昔の大学入試問題を載せるスレ
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1092333634/
シンプルで難しい問題
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1011067036/
0002１３２人目の素数さん
2005/05/22(日) 18:02:300003１３２人目の素数さん
2005/05/22(日) 18:03:230004１３２人目の素数さん
2005/05/23(月) 16:32:440005１３２人目の素数さん
2005/06/01(水) 20:15:10点Qをとる。pが0≦p≦√3の範囲を動くとき△OPQの通過面積を求めよ。
0006１３２人目の素数さん
2005/06/02(木) 17:13:530007１３２人目の素数さん
2005/06/02(木) 17:28:230008１３２人目の素数さん
2005/06/02(木) 18:37:04片方の正三角形を固定して、もう片方の正三角形を秒速ω[rad]で回転させるとき、
2つの正三角形の6つの頂点を結んでできる8面体の体積V(t)は時間tの周期関数となる。
t=0のとき2つの正三角形は平行移動によって重ねることができるとき、
(1)V(t)の周期Tを求めよ。
(2)0≦t≦TでV(t)=f(t)となる関数f(t)で、全ての実数tで任意の回数微分可能となるような関数f(t)の周期を求めよ。
(3)0≦t≦Tで√V(t)=g(t)となる関数g(t)で、全ての実数tで任意の回数微分可能となるような関数g(t)の周期を求めよ。
00098
2005/06/02(木) 18:46:16三角柱にもなるので
×8面体→○立体
0010１３２人目の素数さん
2005/06/02(木) 22:31:0000113次元大好き人間
2005/06/02(木) 22:40:35東大が、立体図形の問題出すのはとても妥当だと思うがな。
物事を立体的に捉える力を求めているんだよ。
0012１３２人目の素数さん
2005/06/04(土) 22:06:060013１３２人目の素数さん
2005/06/04(土) 22:07:400014１３２人目の素数さん
2005/06/05(日) 00:01:400015１３２人目の素数さん
2005/06/07(火) 01:31:170016１３２人目の素数さん
2005/06/07(火) 13:27:241つが偶数かつ素数の2なら三角形が成立するように他の2素数を選択すると(2,a,a)の二等辺三角形になるが
面積は√(a^2-1)で整数にならない。
3辺が偶数かつ素数の正三角形の面積も偶数でない。
よって無理
0017１３２人目の素数さん
2005/06/07(火) 13:30:550018１３２人目の素数さん
2005/06/07(火) 13:37:30ところで、数板で有名？なキング様はどちらのスレに？
0019１３２人目の素数さん
2005/06/07(火) 20:18:570020１３２人目の素数さん
2005/06/07(火) 22:19:30なんで？作れるでしょ
0021１３２人目の素数さん
2005/06/07(火) 22:23:310022１３２人目の素数さん
2005/06/07(火) 22:33:530023１３２人目の素数さん
2005/06/07(火) 22:38:38>>18は無視ですか(´･ω･｀)
探す間もなく、あちこちに出現してましたがね～奴は！
0024１３２人目の素数さん
2005/06/07(火) 22:50:15多分みんな答えるまでもない、と思ったか、どうせヤツが
Re:>>18 私を呼んだか？
とか書き込むだろうと思ってたんじゃないか？ｗ
0025１３２人目の素数さん
2005/06/07(火) 23:05:19多い。
0026１３２人目の素数さん
2005/06/07(火) 23:10:30板違い。
0027１３２人目の素数さん
2005/06/07(火) 23:17:14ﾗｳﾝｼﾞでちょっとイカレタ言動多くて探したんだ、どのキングだろうね
賢い皆様すみましぇんでした、さよなら、ありがと
0028１３２人目の素数さん
2005/06/07(火) 23:27:250029安福の一発！
2005/06/08(水) 04:49:53ＡとＢだけが勝つ確率はいくらか。
0030１３２人目の素数さん
2005/06/08(水) 05:32:57(1/3)^4
0031GreatFixer ◆ASWqyCy.nQ
2005/06/08(水) 11:29:230032１３２人目の素数さん
2005/06/08(水) 12:05:43ﾗｳﾝｼﾞでちょっとイカレタ言動多くて探したんだ、どのキングだろうね
↓
ラウンジは全体的にイカレタ言動の集まりと言うのが率直な感想。
電波チャットみたいなもの？
kingも等大の数学の連中がパスワードを共有して複数で遊んでるのかもね。
0033１３２人目の素数さん
2005/06/08(水) 13:28:08ﾗｳﾝｼﾞの鑑定スレに出没してます。ちょっとファンも掴んだみたい！
板違いと怒られない間にｺｿｰﾘ逃げます、ﾊﾞｲ！
0034GreatFixer ◆ASWqyCy.nQ
2005/06/08(水) 14:06:470035GreatFixer ◆iRJf94dSkA
2005/06/08(水) 14:08:140036GreatFixer ◆ASWqyCy.nQ
2005/06/08(水) 14:12:380037１３２人目の素数さん
2005/06/08(水) 14:25:50愉快犯がkingの名前を連呼してるような感じだったけど。
似たようないいまわしの人間をkingだと思いこんでるに、うまい棒98本。
0038１３２人目の素数さん
2005/06/08(水) 16:41:30ﾗｳﾝｼﾞ鑑定の前スレ645辺りから出てきたよねﾝ
その尊大な口調がすきです、尊大な鑑定も(´∇')
また遊びにきてね～
0039GreatFixer ◆ASWqyCy.nQ
2005/06/08(水) 17:27:48Re:>>38 よくここが分かったな。
さて問題。
微分方程式y''-2y'+y=0の解を全て求めよ。
'はxによる微分で、yはxの関数で実数変数実数値関数とし、xについて一回微分可能とする。
0040１３２人目の素数さん
2005/06/08(水) 17:51:16勇気スレだったのか。
0041１３２人目の素数さん
2005/06/08(水) 21:34:23誰か早くフィクサーたんの問題解いてあげて～
0042１３２人目の素数さん
2005/06/08(水) 22:04:330043１３２人目の素数さん
2005/06/08(水) 22:08:00(D^2+D+1)y=0
0044１３２人目の素数さん
2005/06/08(水) 22:22:35(D^2-2D+1)y=0
(D-1)^2y=0
Dy=y
y=c1e^x+c2e^x
0045GreatFixer ◆ASWqyCy.nQ
2005/06/08(水) 22:39:58(∂_{x}-1)y=0を解くために、
u=yexp(-x)とおくと、
∂_{x}uexp(x)+uexp(x)-uexp(x)=0より
u=C (Cは定数)となる。
よってy=Cexp(x)が成り立つ。
(∂_{x}-1)^2y=0ではどうなるか？
0046１３２人目の素数さん
2005/06/09(木) 20:24:310047１３２人目の素数さん
2005/06/10(金) 16:43:21オナホールの外径をR、内径をrとし、チンコの直径をaとするとき、
オナホールによってチンコにかかる圧力Pを求めたい。
(1)オナホールとチンコを軸に垂直な面で切断したときの断面が同心円状となるとき、
チンコにかかるオナホール圧Pを求めよ。
(2)オナホールとチンコの軸が距離dだけ離れた平行線のとき、オナホール圧の分布を定性的に述べよ。
また、このときのオナホール圧の平均値と(1)で求めたPの大小を比較せよ。
(3)(1)のとき、角周波数ωの単振動でオナホールをチンコに対し上下に動かす。
オナホール内部の動摩擦係数μ、オナホールのグラインド距離をL/2(つまり単振動の振幅はL/4)、
オナホール及びチンコの長さをL、オナホール素材の密度をρとするとき、
手がオナホールにする仕事の単位時間あたりの平均値を求めよ。
ただし、オナホールは時間t=0のときチンコを完全に覆っているものとする。
(1)～(3)では簡単のためLは他の量に比べて十分大きいものとし、
オナホールの両端やチンポ先端の影響は無視できるものとする。
0048１３２人目の素数さん
2005/06/10(金) 16:53:350049１３２人目の素数さん
2005/06/26(日) 01:26:460050１３２人目の素数さん
2005/07/10(日) 07:53:400051１３２人目の素数さん
2005/07/11(月) 04:39:26(a＋bi)^pは実数ではないことを示せ。
ただしiは虚数単位を表す。
0052１３２人目の素数さん
2005/07/11(月) 06:23:00塗る組み合わせは何通りでしょうか。！などで略さず整数値で答えろ。
なんて問題でたら、捨てる。
0053１３２人目の素数さん
2005/07/11(月) 06:26:270054１３２人目の素数さん
2005/07/12(火) 23:06:260055１３２人目の素数さん
2005/07/17(日) 01:37:42正方形を作図することが、理論上可能であることを証明せよ。
0056１３２人目の素数さん
2005/07/17(日) 01:38:270057１３２人目の素数さん
2005/07/17(日) 12:47:021cmは与えられているとしてOK？そうでなければ出来ない気がするが．
解法としては，自然数ｎを作図→1:√(ｎ)=√(ｎ):nにより√(ｎ)を作図 で出来るはず．
なんか高校時代にゴチャゴチャやっていて出来た記憶がある．
ここから更に 1/√(ｎ) が作図出来るので，任意の有理数としても出来ると思う．
コンパス必須なのに，無いと解けない問題は出ないんだよね．
たまにはこういうのも出て欲しいと思う．
0058１３２人目の素数さん
2005/07/17(日) 23:52:41x>1のときは斜辺がx+1、高さがx-1の直角三角形作図すれば底辺が2√x。
x<1のときは斜辺が1+x、高さが1-xの直角三角形作図すれば底辺が2√x。
2で割るのは楽勝ということで。ちなみにコンパスのみでもできまつ。
もちろん最後もとめた点を結んで正方形を書くのは無理でつが。
0059１３２人目の素数さん
2005/08/01(月) 04:45:15内接円の半径が3，外接円の半径が8であるような
三角形の面積のとりうる値の範囲を求めよ．
0060１３２人目の素数さん
2005/08/01(月) 18:16:380061１３２人目の素数さん
2005/08/01(月) 18:59:45Ｌ -‐ '´ ￣ ｀ヽ- ､ 〉
／ ヽ＼ /
／/ / / ヽヽ ヽ〈
ヽ､レ! { ﾑ-t ﾊ li ､ i i }ﾄ､
ﾊＮ | lヽ八l ヽｊﾊVヽ､ｉ j/ l !
/ﾊ. ｌ ヽｋ=＝ , r= ､ﾉﾙｌ lＬ」
ヽN､ﾊ ｌ ┌‐┐ ﾞl ﾉl l
ヽﾄjヽ､ ヽ_ノ ノ//ﾚ′
r７７７７７７７７７tﾉ｀ ｰ r ´ﾌ/′
ｊ´ﾆゝ ｌ|ヽ _/｀＼
〈 ‐ 知ってるが ｌﾄ、 / 〃ゝ、
〈､ﾈ.. .ｌＦ Ｖ=＝"／ ｲl.
ト |お前の態度がとニヽ二／ ｌ
ヽ.|l. 〈ｰ- ! ｀ヽ.
|l気に入らない ｌﾄﾆ､_ﾉ ヾ、
|l_＿_＿_＿_＿__ｌ| ＼ ソ
0062１３２人目の素数さん
2005/08/01(月) 19:00:230063１３２人目の素数さん
2005/08/01(月) 19:06:35| ｀ﾞ''ｰ- ､ ＿＿＿＿＿＿__
| ,. -‐ ''´￣￣｀ヽ､＿ /
|, - '´￣ ｀ヽ、 /
／ ｀ヽ､ヽ /
_/ ヽヽ/
／ / / / / / ヽﾊ
く / /! | 〃 _/__ l| | | | | | | ||ヽ
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/ハ/ | | ヽ/ ヽ | ヽ | || /|ヽ/! |/ | ヽ
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| || |l |ヽ!'´￣｀ﾞ , ==ミ､ /イ川 |─┘
| ﾊ|| || | """ ┌---┐ ｀ / // |
V !ヽ ト! ヽ､ | ! / //| /
ヽ! ＼ハ` ､ ヽ､__ノ ,.イ/ // | /
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|（/（/（/（/（/（/（/（/（/（/│|| |＼ 〃
r'´￣ヽ. | | ト / ＼
/ ￣｀ｱ | | | ⌒/ 入
〉 ￣二) 知ってるが | | | ／ ／/ ヽ
〈! ,. -' | | ヽ∠-----', '´ ',
| ＼| | .お前の態度が | |<二Z二￣ ／ ',
| | | _r'---| [ ｀`ヽ､ ',
| | | 気に入らない >-､__ [ ヽ !
＼.| l. ヽ､ [ ヽ |
ヽ| ＼ r' ヽ､ |
0064１３２人目の素数さん
2005/08/01(月) 19:51:310065べーた
2005/08/01(月) 20:12:390066１３２人目の素数さん
2005/08/01(月) 20:15:100067１３２人目の素数さん
2005/08/01(月) 20:22:250068１３２人目の素数さん
2005/08/01(月) 21:34:440069過去スレ問題その１
2005/08/17(水) 23:30:32三角形ＰＱＲは正三角形になり、さらにＰＱ//ＡＢ（平行）になった。
ＯＡ↑＝a↑、ＯＢ↑＝b↑とし、ＯＲ↑をa↑とb↑で表せ。
ＰＱ↑＝k*ＡＢ↑、ＡＲ↑＝t＊ＡＢ↑として、Ａ（a,0）、Ｂ（b1,b2）と置き
①ＰＱ↑・ＭＲ↑＝０
②｜ＭＲ↑｜＝√3/2*|ＰＱ↑|
等と条件を設定して、k,tをa,b1,b2で表現し、さらにこれらをa↑、b↑で表現すれば
Ｄ＝｜a↑－b↑｜^2
Ｅ＝｛|a↑|^2*|b↑|^2－(a↑,b↑)^2｝^(0.5)
Ｆ＝b↑・(b↑－a↑)
Ｇ＝a↑・(a↑－b↑)として
ＯＲ↑＝{1/2+√3/2*Ｆ/E}/{1+√3/2*Ｄ/E}*a↑+{1/2+√3/2*G/E}/{1+√3/2*Ｄ/E}*b↑
を得る。
0070１３２人目の素数さん
2005/08/19(金) 08:36:250071１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 09:44:30問1.a,b,cを実数とする。三次方程式ax^3+bx^2+cx-b/3=0は-1から1の間に少なくとも一つの解を持つことを示せ。
問2.整数a,b,c,dがa^2+d^2=b^2+c^2かつab=cdを満たすとき|a|=|c|,|b|=|d|を示せ。
京大ぽいな
0072１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 10:32:380073１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 10:46:48名前：津波太郎 日付：2005年8月22日(月) 20時15分
(x-1)(x^2＋2ax＋a＋6)=0の解をα、β、γとするときα^2＋β^2/γ^2のとりうる値の範囲を求めよ
(高校 3 年)
FKCfb-08p1-138.ppp11.odn.ad.jp (219.67.9.138)
Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 6.0; Windows NT 5.0; .NET CLR 1.1.4322)
これもどうぞ
0074１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 11:45:21２つ言わせてもらおう！
（１） α^2＋β^2/γ^2 のところは、誤解のない書き方をしたんだろうな？
（２） 宿題は質問スレに書き込め！
0075１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 13:16:51(1)k=-c/a、l=-b/aとおく。与式⇔x^3-lx^2-kx+l/3=0
(i)k=1/3のとき
このとき与式⇔(x^2-1/3)(x-l)=0ゆえ解x=±√(1/3)は-1＜x＜1
なる解である。
(ii)k≠1/3のとき
このとき与式⇔l=x(x^2-k)/(x^2-1/3)。f(x)=x(x^2-k)/(x^2-1/3)とおく。
(a)k≦0 or k＞1/3のとき。
f(x)は-√(1/3)＜x＜√(1/3)で連続かつ奇関数でx=±1/√3で分子≠0、分母=0
であるから
lim[x→+√(1/3)]f(x)=+∞、lim[x→-√(1/3)]f(x)=-∞、または
lim[x→+√(1/3)]f(x)=-∞、lim[x→-√(1/3)]f(x)=+∞。いずれの場合も中間値の
定理から成立。
(b)0＜k＜1/3のとき
f(x)は-√k＜x＜√kで連続かつ奇関数でx=±kで分子≠0、分母=0
であるから
lim[x→+√k]f(x)=+∞、lim[x→-√k]f(x)=-∞、または
lim[x→+√k]f(x)=-∞、lim[x→-√k]f(x)=+∞。いずれの場合も中間値の
定理から成立。
桶？
0076１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 13:21:06(2)これ整数である必要ある？a^2-b^2=c^2-d^2=k、ab=cd=lとおく。
(a,b),(c,d)はともに双曲線x^2-y^2=k、xy=l上にある。
しかしこの２曲線は任意の実数k,lに対してちょうど２つの交点をもち
それらは原点対称。よって(a,b)=(c,d) or (a,b)=(-c,-d)
整数である必要ないように思うんだけど？
0077１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 13:53:3071です。もちろん正解です。僕の考えていた解答を書きます。
F(x)=(a/4)x^4+(b/3)x^3+(c/2)x^2-(b/3)xとおくと、
F(1)=a/4+b/3+c/2-b/3=a/4+c/2
F(-1)=a/4-b/3+c/2+b/3=a/4+c/2
∴F(1)-F(-1)=0 よって平均値の定理よりF'(p)=0をみたすpが区間(-1,1)に存在。
以上よりF'(x)=ax^3+bx^2+cx-b/3=0は-1から1の間に少なくとも一つの解を持つ。
0078１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 13:58:1771です。御免なさい。もっとねりねりすべきでした。
僕のあほな話を聞いてください。
a^2-b^2=c^2-d^2の左辺に2abi、右辺に2cdiを足すことにより、
(a+bi)^2=(c+di)^2にもってってフォーーというつもりだったんです。
a^2+2b^2=c^2+2d^2かつab=cdを満たす自然数a,b,c,dは
a=c、b=dであることを示せ、って問題でもよかったんですけど、
まぁ、代わり映えはしません。
0079１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 15:21:01∫[-1,1 ]ax^3+bx^2+cx-b/3=0
0080１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 15:57:28a[n+1]=a[n]^4-4
一般項は？
0081１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 15:59:35を示せ。ただし、eは自然対数の底
0082１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 17:30:00ｆ（－１／√（３））＝－ｆ（１／√（３））。
0083１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 21:50:59ヒントきぼん
0084１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 22:08:41Ｌ -‐ '´ ￣ ｀ヽ- ､ 〉
／ ヽ＼ /
／/ / / ヽヽ ヽ〈
ヽ､レ! { ﾑ-t ﾊ li ､ i i }ﾄ､
ﾊＮ | lヽ八l ヽｊﾊVヽ､ｉ j/ l !
/ﾊ. ｌ ヽｋ=＝ , r= ､ﾉﾙｌ lＬ」
ヽN､ﾊ ｌ ┌‐┐ ﾞl ﾉl l
ヽﾄjヽ､ ヽ_ノ ノ//ﾚ′
r７７７７７７７７７tﾉ｀ ｰ r ´ﾌ/′
ｊ´ﾆゝ ｌ|ヽ _/｀＼
〈 ‐ 知ってるが ｌﾄ、 / 〃ゝ、
〈､ﾈ.. .ｌＦ Ｖ=＝"／ ｲl.
ト |お前の態度がとニヽ二／ ｌ
ヽ.|l. 〈ｰ- ! ｀ヽ.
|l気に入らない ｌﾄﾆ､_ﾉ ヾ、
|l_＿_＿_＿_＿__ｌ| ＼ ソ
0085１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 22:16:27>>80のヒントくれくれ
0086１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 22:20:14|￣｀`''- ､
| ｀ﾞ''ｰ- ､ ＿＿＿＿＿＿__
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| ﾊ|| || | """ ┌---┐ ｀ / // |
V !ヽ ト! ヽ､ | ! / //| /
ヽ! ＼ハ` ､ ヽ､__ノ ,.イ/ // | /
┌/）/）/）/）/）/）/）/）/）/）lｰ/ ` ー‐┬ '´ レ//l/ |/
|（/（/（/（/（/（/（/（/（/（/│|| |＼ 〃
r'´￣ヽ. | | ト / ＼
/ ￣｀ｱ | | | ⌒/ 入
〉 ￣二) だから | | | ／ ／/ ヽ
〈! ,. -' | | ヽ∠-----', '´ ',
| ＼| | .お前の態度が | |<二Z二￣ ／ ',
| | | _r'---| [ ｀`ヽ､ ',
| | | 気に入らない >-､__ [ ヽ !
＼.| l. ヽ､ [ ヽ |
ヽ| ＼ r' ヽ､ |
0087１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 22:21:21ヒントはまだか。早くしろ
0088１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 22:26:30/':.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:|.:.:.:.:.:.:.:＼ ヽ: /_／
/.:.:.:.:.:/:.:.:.:,:.:.:|:.:.:ヽ.:.:.:.:.:.', } /:.:.|
l{:.:.:.:|:.l:.:.:.:/l/'ハ:､.:.:ヽ.:.:.:.:} .{::.:.:.:.:l
ﾊ:.:.:.|:|:.／/ ノ ‐ヾ＼_|l.:.:.:i }::.:.:.:.:.',
ヽ:.:.{. ,:=､ =＝､ ﾉ.;./ /::.::.::.:.:.:.',
ヽゝ ､ ｿ!※}::.::.::.::.:.:.
{ ｀ヽ、ヽﾌ ／ｲ /‐､_:.:.:.:.:.:.
f＾)＾)＾)＾)＾)＾)＾)＾)＾)＾)「-､_,{※} ｒ′ヽ:.:.:.:.
ｒ''⊇、 ｌ|ヽ_/ } t′ ',:.:.:.
{ =='､ ですから ｌ|!;r'!※{ ｔ′ ',:.:.:
ﾊ,,_う´ その態度が l||;;l}. {,ｺ !:.
_{'V|ｌ 気に入らない ｌ||;;;{※.},ｺ !、
ゞ |l と申して ｌ|.l;;{ },ｺ }
＼,,|ｌ おります l| L{.※{,ｺ /|
|ｌ＿＿＿＿＿＿＿＿l|,rn} },ｺ＼ ／ 〉
0089１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 22:32:14下らんAAでスレ消費してないでさっさとヒント出せ
0090１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 22:36:490091１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 22:50:59, -───‐- ､
,. ‐'´ 丶 丶
／ , / / i ! ヽ ヽ 丶ヽ
,.'´ / ,' i! i|!. |iﾄ ヽ ｌ! i ヽ.i
// /ｌ .i! |ｌ.| | !ヽヽ i､ ｌ. ｌ ',.',
,' j!. |ｌ! |ｌ」 ｌ| Ｌ_」 ` `｀' `! i ｌi
!. i! |'´コ! -=─-､ i. ﾄ !ﾄ
ｌ |ﾘｌ Ｙ´Τ` ,.-.._ ｌ ├､ i ｌ ヽ
!ｌ ｌ ,ｲ〒、 ´ ｌ i;!|ﾘ | .ｌ !ﾄ ト.ヽ
ﾉ! ! ｌ 丶ｿ ` r'' ｌ |_,ｲ ｌヽ. ｌ! ｀丶、
j i! |､ |! ､ ｌ;;i ,! | ｌj ＼!
ｌ | 丶! ‐ ／ | !j!
┌/）/）/）/）/）/）/）/）/）/）_ ／ ｌ |
|（/（/（/（/（/（/（/（/（/（/||| ｌ! ﾄ
r'´￣ヽ | |.ト / | i ｌ
/ ￣｀ｱ | | | ⌒/ i ｌ入
〉 ￣二) 知ってるが | | | ／ ヽ |/ ヽ
〈! ,. -' | | ヽ∠-----', ヽ ｌ ',
| ＼| | お前の態度が | |<二Z二￣ ／ ',
| | | _r'---| [ ｀`ヽ､ ',
| | | 気にいらない >-､__ [ ヽ !
＼.| l. ヽ､ [ ヽ |
ヽ| ＼ r' ヽ､ |
0092≠89
2005/08/23(火) 23:05:54ところでできましたらヒントください。
0093１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 23:09:14,.-'" ￣ ` `ヽ、
／ ／ ､ ヽ ＿＿＿_,..rγi,..,＿＿＿
// / /〃l l l ﾄヽヽヽ | ￣∪￣ |
l' ｌ〃! l /'//' /l,l l l ヽ!. | |
λ. l l,x＝､〃/,,r'=-､/､ l | .>>92 |
l ヽ l ､,,.=､、'"´ _'.._'`ヽ ﾒ | |
l/'(ゝ" ` , "⌒`" ;'l/.. .| めんどくさい |
lゝ‐、r,ー-- --‐っ lソ | |
ヽlヽヽ､二＿_二ﾉノ.... | どうでもいい |
/!~{､` ７.､＝ﾆ'、 _,.-'".|,.-ぅ. |
,. -＜ ＼7).ヽrﾉヽ､ヾー''", ,.／／ |
/ ヽ l￣~`!ヽ. K l .／ ニﾕ |
! ヽ＼ l-{__lヽ l _/ ニ｣. |
l ヽl /ヽ／ﾄ、 〉! l‐'/、 ./`" ￣￣￣￣￣￣￣￣
ﾄ、 ヽ L l }/l.／´~ヽゝ'"
.l ヽ、 ヽ､ l`lo／ o〉
l ＼ 〃ｰ'" o／
0094１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 23:10:140095１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 23:12:22/':.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:|.:.:.:.:.:.:.:＼ ヽ: /_／
/.:.:.:.:.:/:.:.:.:,:.:.:|:.:.:ヽ.:.:.:.:.:.', } /:.:.|
l{:.:.:.:|:.l:.:.:.:/l/'ハ:､.:.:ヽ.:.:.:.:} .{::.:.:.:.:l
ﾊ:.:.:.|:|:.／/ ノ ‐ヾ＼_|l.:.:.:i }::.:.:.:.:.',
ヽ:.:.{. ,:=､ =＝､ ﾉ.;./ /::.::.::.:.:.:.',
ヽゝ ､ ｿ!※}::.::.::.::.:.:.
{ ｀ヽ、ヽﾌ ／ｲ /‐､_:.:.:.:.:.:.
f＾)＾)＾)＾)＾)＾)＾)＾)＾)＾)「-､_,{※} ｒ′ヽ:.:.:.:.
ｒ''⊇、 ｌ|ヽ_/ } t′ ',:.:.:.
{ =='､ そのぐらいで ｌ|!;r'!※{ ｔ′ ',:.:.:
ﾊ,,_う´ l||;;l}. {,ｺ !:.
_{'V|ｌ くじけるな ｌ||;;;{※.},ｺ !、
ゞ |l ｌ|.l;;{ },ｺ }
＼,,|ｌ ですぅ l| L{.※{,ｺ /|
|ｌ＿＿＿＿＿＿＿＿l|,rn} },ｺ＼ ／ 〉
0096１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 23:17:160097１３２人目の素数さん
2005/08/23(火) 23:17:51,/ '" i ﾄ､ .|
, ' ｲ , ' / / ヽ. ', ',ヽ |
,' ｲ,' ,' / ｲ i i ､ i i ', |
,'.:i .:i ,ｲ ,'l ,i .:ｉ i l i i | . i:. i |
i l::| .:::l i i＼|i ', .::;'l,'/／j ,i :: l:: .:i .|
l::i::i:::::i､ lｨｭ-ヾ '; ' /ｨｭ-ｯ' |::: .: i::::/ .|
ヾ､:::::::iヽil､＿ﾉ , ヾ＿ﾉ i:::: .::iﾚ' |
＿＿_ni´| lヽi_',-l ' ' ―‐ ' ' ｲ:::::::/――――|
| ´ | ﾝ ー -, ‐ '" / ｲ:/;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;|
| |;:;:;:;:;:;:;:;:i/i｀ﾝ./;:;:'/;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:|
| 面白い |;:;:;:;:;:i;:;:;:', i-i/;:;:;:;:;:;:;:T"￣￣￣|
| 問題を |￣￣i;:;:;:;:ヽ/;:;:;:;:;:;:;:;:;i .|
| キボンヌ | |;:;:;:;:;:;:o;:;:;:;:;:;:;:;:;:;ヽ |
| | i;:;:;:;:;:;:o;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:ヽ. |
| | /;:;:;:;:;:;:;:o;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:｀, .|
└―――――‐┘ /;:;:;:;:;:;:;:;:;:, ､;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:;:; '､ |
ﾝ､;:;:;:;:;:;:/;:;:;:ヽ;:;:;:;:;:;:; ';:;:;:;:ヽ.|
0098１３２人目の素数さん
2005/08/24(水) 00:28:59☆ ﾁﾝ
☆ ﾁﾝ 〃 ∧＿∧ ／￣￣￣￣￣￣￣
ヽ ＿＿_＼（＼・∀・）＜ >>97 ヒントﾏﾀﾞｰ?
＼＿／⊂ ⊂＿)＿ ＼＿＿＿＿＿＿＿
／￣￣￣￣￣￣￣／|
| ￣ ￣￣￣￣￣￣:| :|
| .|／
0099１３２人目の素数さん
2005/08/24(水) 00:36:32,-┐
,ｨ─､ri´^-─- ､ .┌f^f^f^f^f^f^f^f^f^┐
く / , ,' ヽ ヽ| ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~│
`<' / ,'ﾚｲ+tVvヽ!ヽﾄ 知ってるが │
!/ ,' i |' {］ , [}|ヽﾘ お前の態度が |
`!_{ iﾊﾄ､__iﾌ,ノリ,ｎ 気に入らない |
／/ (^~￣￣∃_ア____n＿＿＿＿＿|
_r''‐〈 `´ｱ/ﾄr──!,.--'
<＿>─}､ `」ﾚ
'ヽ､ ,.ﾍｰｧtｲ
Y､.,___/ |.|
| i `ｰ'i´
0100１３２人目の素数さん
2005/08/24(水) 01:10:20./ ヽ / ヽ
/ ヽ＿＿＿/ ヽ ｷﾎﾞﾝﾇ～ｷﾎﾞﾝﾇ～
／ l＿＿＿l ＼
| ● | | ● | ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
へ | へ ヽ ./ | ＜ >>99 ヒントまぁ～だぁ～～～？
＼＼ ＼ ＼＼ ヽ/ ／ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
ﾁﾝ ＼＼ .＞ ＼＼ ヽ
ﾁﾝ ＼＼/ ＼＼ ＿ |
＼￣￣￣￣￣￣￣／ /￣ ヽ / ＿
＼回回回回回／￣￣ヽ /￣￣ ／|
＼＿＿＿／ ヽ＿＿＿＿／ ／ |
／ |
／ |
0101１３２人目の素数さん
2005/08/24(水) 03:03:59| 知ってるが .|
| お前の態度が .|
| だめぽ！！ | ,. . _
|＿＿＿＿＿＿＿| --' 、 ￣￣ヽー- ､
| | ヽ￣7 , , ＼ 、 「￣ 7
| | ヽ / /_ /ハ |ヽ、＼ V ./
| | i il/＞ ヽl ＜＼ヽ. V
,. -{-､ __ .| ii i! ,. ─‐ 、 | il |
{ Y/ l il |､ { } | li |
`t-く ヽN ` `--- ' ＜ﾘiレ'
| | `ー-- ､ / ヽ ｀丶、
| | ￣ヽ ノ >-' !
| | ,.ｨ`＝=＝ r'^ヽ､_,／- 、
| | , '" ／/ !'~｀V-─ ､ ）
| | ＜ _,／ ／ / /i ＼ (_ノ
i_j /ヽ ' / / ! ,>
/＿ > ､ 」＿_/ _」, ｨ'´ 「
:::`ー':::::::::::::::::::::::::::::ヽこﾉ:::
0102１３２人目の素数さん
2005/08/24(水) 12:17:38／∵∴∵∴＼
/∵∴∵∴∵∴＼
/∵∴∴,（･）（･）∴|
|∵∵／ ○ ＼|
|∵ / 三 | 三 | ／￣￣￣￣
|∵ | ＿_|＿_ | ＜ うるせー馬鹿！ とっととヒント出せ!
＼| ＼＿/ ／ ＼＿＿＿＿
＼＿＿＿_／
0103１３２人目の素数さん
2005/08/24(水) 12:23:50ま だ ヒ ン ト 出 せ な い の か
0104１３２人目の素数さん
2005/08/24(水) 13:29:18┌─────────┐
│ 基地外警報！！！ |
│ 基地外警報！！ ｜
└―――──――――┘
ヽ(´ー｀)ﾉ
( へ)
く
0105１３２人目の素数さん
2005/08/24(水) 13:31:030106１３２人目の素数さん
2005/08/24(水) 14:40:24a^2 - 2b^2 = 1
0107１３２人目の素数さん
2005/08/24(水) 19:51:30＝＝＝＝＝＝＝＝ （ 人＿＿＿＿） ﾊｧﾊｧ
＝＝＝＝＝＝＝＝ ｜./ ー◎-◎-）
＝＝＝＝＝＝＝＝ （６ (_ _) ） ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
＝＝＝＝＝＝＝＝ ｜ .∴ ノ ３ ﾉ ＜ それより早くヒントくれ。>>106お前でもいいぞ。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝ゝ ノ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＝＝＝＝＝＝＝＝／ ＼
＝＝＝＝＝＝＝（＿ノヽ ﾉ＼＿）
＝＝＝＝＝＝＝＝＝ （ ⌒ヽ´
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ヽ ﾍ ） ずんずんずんずん
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ﾉノ ｀J
0108GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/08/26(金) 18:54:470109１３２人目の素数さん
2005/08/26(金) 18:57:520110１３２人目の素数さん
2005/08/26(金) 22:44:21幾何的イメージが後からわかった。この方が解は早い。
Ｐ，ＱからＡＢに垂線を描き、交点をＰ´、Ｑ´とすると、（正三角形の一辺を１と思えば比は出しやすい）
（内分点ですね。）
ＡＲ：ＢＲ＝（Ｐ´Ｒ＋ＲＡ）：（Ｑ´Ｒ＋ＲＢ）
＝（１／２＋√３／２＊ｃｏｔ∠Ｂ）：（１／２＋√３／２＊ｃｏｔ∠Ａ）
ここで、
ｃｏｔ∠Ｂ＝ｃｏｓ∠Ｂ／ｓｉｎ∠Ｂ＝－ｂ↑・（ａ↑－ｂ↑）／｜ａ↑×ｂ↑｜＝ｂ↑・（ｂ↑－ａ↑）／（ａ↑×ｂ↑）＝Ｆ／Ｅ
Ｅ＝√｛|a↑|^2*|b↑|^2－(a↑,b↑)^2｝＝｜ａ↑｜｜ｂ↑｜｜ｓｉｎ∠ＡＯＢ｜＝｜ａ↑×ｂ↑｜＝｜ｂ↑×（ｂ↑－ａ↑）｜
Ｆ＋Ｇ＝Ｄ
等に注意し、簡単な記述を選べば良い。答えその物は>>69に同じ。
但し、要はｃｏｔ∠Ａ、ｃｏｔ∠Ｂさえ求めればいい事を思えばはるかに簡単。
つまり、答えは
ＯＲ↑＝[{1/2+√3/2*cot∠Ｂ}*a↑+{1/2+√3/2*cot∠Ａ}*b↑]/{1+√3/2*（cot∠Ａ＋cot∠Ｂ）}
と言う形で後は、cotをa↑とb↑で現すだけで、とても簡単。
出題者の好み（問題は１０題あった。後一つだけ残っている。これが俺にはむずかしい。）として、図形イメージでひらめけばより簡単と言う傾向。
解く方もひらめければおもしろい。
0111１３２人目の素数さん
2005/08/26(金) 22:55:570112１３２人目の素数さん
2005/08/26(金) 23:00:39┌─────────┐
│ 基地外警報！！！ |
│ 基地外警報！！ ｜
└―――──――――┘
ヽ(´ー｀)ﾉ
( へ)
く
0113１３２人目の素数さん
2005/08/27(土) 01:15:00意味不明。
0114１３２人目の素数さん
2005/08/27(土) 09:50:58問題ってどの？問題は>>69に出ている。それを計算力ずくで解いたのは>>69に出ている。
これがひらめきでずっと簡単に出る様が>>110に出ている。勿論、入試レベルではないと
思うが。しかし、問題そのものはおもしろい。
>>113
？？何の意味が不明なのかが俺には不明。問題を読めばわかると思うが、、、？
９題解いた感触では、出題者はめんどくさい計算をいとう訳ではないが、それでも
ＡＨＡ！と思える図形的イメージでのひらめきを求めている。
残った１問を次に書く。
0115１３２人目の素数さん
2005/08/27(土) 10:07:06今、ここにx^2+y^2=1なる円がある。点(1,0)から出発して円内部の点へ最短時間で到達したい。
単位円の周上では速さa>πで、円内部では速さ1で移動できる。
(1)この条件で円内部全ての点へ到達できる最短時間を求めよ。
（円内部で最も時間のかかる点までの最短時間です。）
(2)(1)での時間で、円外部での速さも１で円外部へも移動する時、移動できる領域の面積を求めよ。
0116１３２人目の素数さん
2005/08/27(土) 10:21:57周上を時間tまで移動し、その後円内部を直線で移動する時にかかる時間の関数
f(t)=t+√[(x-cos(at))^2+(y-sin(at))^2]
もx=r*cos(s)、y=r*sin(s)としてかなりな所まで追い詰めた。
しかし、どうしたって、あんまりめんどくさいのでどこかにAHA！なひらめきの
図形イメージがかくれているのは明らかだ。ヒントはいらないが、誰か
ひらめきが好きな人、得意な人（勿論、出題者ではなく）が解いてくれたら、俺はうれしい。
解けたら、おもしろい思いをする事は保証する。
ＡＨＡ！！
0117１３２人目の素数さん
2005/08/27(土) 10:25:00先入観無しに>>69を読め。
ＲはＯＢ上にあるのでａの係数は０。
ＯＢＣが正三角形でＡがＯＣの中点のとき
ＡからＯＢに垂線ＡＤを下したときＲは線分ＯＤに
あればいいので一つに決まらない。
0118１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 02:28:21三角形ＯＡＢの辺ＯＡ上に点Ｐ、辺ＯＢ上に点Ｑ、辺ＡＢ上に点Ｒをとると、
三角形ＰＱＲは正三角形になり、さらにＰＱ//ＡＢ（平行）になった。
ＯＡ↑＝a↑、ＯＢ↑＝b↑とし、ＯＲ↑をa↑とb↑で表せ。
0119１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 02:36:07ここは、センター試験のバカチョン問題スレじゃないですよ。
0120１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 03:13:580121１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 03:16:200122１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 03:50:05記述なら、難易度はどっちもどっちで簡単。
底上げ問題の次のレベル。
>>115は、センター＋αの知識があると格段に有利。
パッと見の難易度の違いは、単なる問い方の違いだな。
つか、何れも厨房が背伸びして作った問題だろ？
0123１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 03:51:440125１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 04:11:030126１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 04:18:170127１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 05:25:260128１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 08:27:051.5
0129１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 08:28:360130１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 12:24:15http://pie.bbspink.com/test/read.cgi/mcheck/1124123543/
＞数学崩れのは、ズル向け・雁鷹でも実践で使い物にならない欠陥品
＞中折れonly！中出しなんて一生無理ｗｗｗ
0131１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 16:27:44あるんだけど。こんなに開いてるならスゲーラフな評価でできるとおもうんだけど。
どっかまちがってんじゃね？
0132１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 16:29:38それあってるん？答えaに無関係になるん？
0133１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 19:20:46進んだ時の点(1-π/a,0)との中点を考えたんだろうが、ある角度π/2<at<πがあって
ここからこの中点に行くと時間は短くなる。よって違っている。
0134１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 19:26:371秒（単位がないが、仮に秒として）はかからず、そこからは0.5秒だから、1.5秒
かからない。だからこれも違っている。
0135１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 19:31:10得られても、きれいにはならないのかもしれない。
0136１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 19:31:450137１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 19:37:59ショートカットがどこかにあるはず。（俺はあの手の馬鹿は大嫌いだが）
0138１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 19:40:320139１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 19:53:140140１３２人目の素数さん
2005/08/28(日) 20:07:32は俺はまずP(cosθ,sinθ)、Qt(t,0)としてtを固定してθ動かしたときの
θ/a+√((cosθ-t)^2+(sinθ)^2)の極値を考えた。
極値をとるのはPでの円の接線の方向ベクトルx成分が負で長さ１のベクトルをd↑とするとき
d↑･PQ↑=1/aのとき。
ここまではそんな対した計算がいらん。まだやってないけどこれがθ動かしたときの最小値。
めんどいからそれをみとめて、そのときのP、θをPt、θtとおくことにする。
つぎに-1≦t≦0でうごかしてθt/a+PtQtの最大値もとめるんだけど
きっとそれはPtQt⊥x軸のとき。
この予想がただしいと答えにarccos(1/a)がまじってしまうんだよね。
0141140
2005/08/28(日) 23:10:33tを固定してθをうごかす。
f(θ)=θ/a+√((cosθ-t)^2+(sinθ)^2)とおく。
f’(θ)=1/a-sin∠OPQ=OQ/OP(OP/aOQ-sin∠OPQ)
なので極値をもつ⇔OQ＞1/a。
極値をもたないときはf(θ)は広義単調増大であるゆえθ=0のときが最小、最小値1+OQ。
極値をもつときは極小、極大ともにあるので極小をあたえるθをθt、Ptとする。
このときf(θt)=sin(π-θt)/sin(-π/2+α+θt)+θt/a=sinα-cosαtan(θt+α)+θt/a。
f(θt)=g(t)とおく。g'(t)=(1/a)(1-1/(cos(θt+α))^2)θ't
θ't<0であるからg'は単調増加である。結局g(t)が最小となるtはt=-1/aとわかる。
このときの必要な所用時間は1+1/a。
あってる？
0142141
2005/08/29(月) 18:07:50A(1,0)、P(cosθ,sinθ)、Q(t,0)とおく。0<α<π/2をcosα=1/aととる。
Pでの円の接線上の点RをPR↑=(-sinθ,cosθ)ととる。
-1<t<0を固定する。まず小弧APを通り線分PQを通ってQに至る所用時間T(θ)は
T(θ)=PQ+θ/a。θで微分して
dT/dθ
=((cosθ-t)(-sinθ)+sinθcosθ)/√((cosθ-t)^2+(sinθ)^2)+1/a
=1/a-PQ↑･PR↑/|PQ||PR|
=1/a-cos∠QPR
=1/a-sin∠QPO
=1/a-(OQ/OP)sin∠OQP
よってOQ≦1/aのときはTはθに関して単調増大でθ=0のとき最小値1+OQ。
OQ＞1/aのときはsin∠OQP=1/(aOQ)、∠OQP＞π/2のとき極小値をとる。
このとき∠QPR=α、∠POQ=π-θより∠OPQ=π/2-α、∠OQP=-π/2+α+θ。よって極小値は
T
=θ/a+PQ
=θ/a+OPsin∠POQ/sin∠OQP
=θ/a+sin(π-θ)/sin(-π/2+α+θ)
=θ/a-sinθ/cos(α+θ)
=θ/a-(tan(α+θ))/a+sinα
一方でAから線分AQを通りQに至る経路での所用時間は1+OQ。
このうちの小さい方が最小所用時間。つまり
m(OQ)=min{θ/a-(tan(α+θ))/a+sinα、1+OQ} (ただしθ=Arccos(1/(aOQ))-α+π)
このm(OQ)の1/a≦PQ≦1における最大値がもとめる時間。
θ/a-(tan(α+θ))/a+sinαがOPに関して単調減少、1+OPがOPに関して単調増大で
あることをかんがえれば
θ/a-(tan(α+θ))/a+sinα=1+OP、 (ただしθ=Arccos(1/(aOQ))-α+π)――(*)
が成立するOPをとるときそこでの最短所用時間がもとめる最大値であることがわかる。
･･･
ここでつまった。(*)をみたすときの1+OPの値なんかだせんのかな？ホントに？
もう俺ギブ。答えおしえてたも。
0143１３２人目の素数さん
2005/08/30(火) 14:05:28贅肉を削って単純化すると
円内部の点は （ｘ，0） ，－1≦ｘ≦0 の場合のみ考えれば良いが、
綺麗に ｘ が求まるとは思えない。
0144144
2005/08/30(火) 19:45:380145１３２人目の素数さん
2005/08/31(水) 02:37:48平面上に球をおき、球の最高点より光をあてる。
この時、球面上に描かれた任意の円が平面上に作る影は、
また円であることを証明せよ。
0146１３２人目の素数さん
2005/08/31(水) 03:26:38http://news18.2ch.net/test/read.cgi/news7/1124361427/
0147１３２人目の素数さん
2005/08/31(水) 04:57:05ただし、k、p、qは実数。
0148１３２人目の素数さん
2005/08/31(水) 11:21:15贅肉を削ぎ落とさずに計算の概略。
円周上、時刻tまで移動後、直線で移動すると、
今、到達点を(x,y)=(rcosθ,rsinθ)とすれば
(とりあえずは、r、θは関数を定める助変数とみなし、与えられたr、θで
tを動かし最も小さいf(t)を定める。)
①f(t)=t+√{1+r^2-rcos(θ-at)}
②f´(t)=1-ar*sin(at-θ)/√{1+r^2-2r*cos(θ-at)}
α={θ-arccos(1/a)-arccos(1/(ar))}/a+√(1-1/a^2)+r√(1-1/(ar)^2)
β={θ-arccos(1/a)+arccos(1/(ar))}/a+√(1-1/a^2)-r√(1-1/(ar)^2)
とすると、f´(α)=f´(β)=0
1)0<r≦1/a
この時、0≦f´(t)で単調増加、min f(t)=f(0)
以下はαで極大、βで極小
2)1/a<r,x+√(a^2-1)y≦1,0≦θ≦arccos(1/a)
この時、β≦0になってしまい、min f(t)=f(0)
3)1/a<r,1≦x+√(a^2-1)y
この時、0<β だが、α≦0 になってしまうので、min f(t)=f(β)
4)1/a<r,x+√(a^2-1)y<1,arccos(1/a)≦θ≦π
f(0)かf(β)かどちらか小さい方が答え。この時f(0)=f(β)
0149１３２人目の素数さん
2005/08/31(水) 11:33:38α={θ-arccos(1/a)-arccos(1/(ar))}/a
β={θ-arccos(1/a)+arccos(1/(ar))}/a
上記の議論と、f(β)が連続な事から、確かに min(動くのはtだけ) f(t) は
θ=πで最大になる事が言えて贅肉をそぎ落としても良い事がわかる。
だから、θ=πの時のf(0)=f(β)が(1)の答えである事がわかる。
1+r={θ-arccos(1/a)+arccos(1/(ar))}/a+√(1-1/a^2)-r√(1-1/(ar)^2)
が(1)の答えで、rはこの式からaにのみ依存し決定する。
しかし、綺麗にはなっていない。だから、図からの解があるはずと思う。
（出題者は多分>>8と同じ人物で解放に幾何的イメージを必ず入れてる。）
0150１３２人目の素数さん
2005/08/31(水) 11:38:531+r={π-arccos(1/a)+arccos(1/(ar))}/a+√(1-1/a^2)-r√(1-1/(ar)^2)
を解け。図で考えるんじゃない？俺にはわからん。
0151１３２人目の素数さん
2005/08/31(水) 11:47:390152１３２人目の素数さん
2005/08/31(水) 12:04:55min(動くのはtだけ) f(t) は θ=πで最大になる事
はもっと考察の余地があるかもしれない。
0153１３２人目の素数さん
2005/08/31(水) 12:10:064)は
この時f(0)=f(β)が境界となる。だな。正しくは、、、。
まあ、確認したい人は計算してみて。あくまで、言いたいのは大筋と結果。
0154１３２人目の素数さん
2005/08/31(水) 19:26:340155１３２人目の素数さん
2005/09/01(木) 13:29:350156１３２人目の素数さん
2005/09/01(木) 13:31:24「最短時間を求めよ」と問うてる限り、115はやはり出題ﾐｽだと思う。
0157１３２人目の素数さん
2005/09/03(土) 10:54:35√(X^2+1)+√(Y^2+1)-π=-arctan(X)+arctan(Y)+X-Y
ummmm.
Ther is somethig in anywhere.
0158１３２人目の素数さん
2005/09/07(水) 16:28:43=arccot(X)+arccot(-Y)+X+(-Y)
X=√(a^2-1),Z=-Y=-√(ar^2-1)
√(X^2+1)-X+√(Z^2+1)-Z=arccot(X)+arccot(Z)
and what?
0159１３２人目の素数さん
2005/09/07(水) 22:31:44どうやってやるの？
0160１３２人目の素数さん
2005/09/08(木) 03:46:230161１３２人目の素数さん
2005/09/08(木) 14:53:25工夫すれば割と簡単に解ける。
0162１３２人目の素数さん
2005/09/08(木) 18:55:19この書き方では「2次」という条件が利いているはずなので
成分計算は避けられない気がする．
一般のn次の場合（この場合，A^k(0≦k≦n-1)の線型結合になるはず）
の方法からもってくるのが一番ｶｺ（・∀・）ｲｲと思うが，
実際の解き方を瞬時に思いつかなかったのでパス．
出来る人がいたらﾖﾛｼｺ．
0163１３２人目の素数さん
2005/09/08(木) 20:45:28End(A)={P(A)| Aは多項式}⇔Aの各ジョルダン細胞の属する固有値がすべて異なる。
で終わりだけど。せめて対角化もしくは三角化してからやってから成分計算すれば
かなり楽。２次の場合のジョルダンの理論の証明まるまる書いてそれを利用するのが
綺麗なきがする。
0164１３２人目の素数さん
2005/09/08(木) 21:02:55n次の場合は
BA=ABなるBが必ずAの多項式で書ける⇔Aの各ジョルダン細胞の固有値がすべてことなる。
であって任意のAでは成立しませぬ。
0165164
2005/09/08(木) 21:04:360166１３２人目の素数さん
2005/09/08(木) 22:32:13次の関数f(x)が最大となるようなxの値を求めよ
ただし0≦x≦π/２とする
ｆ(x)=asin(x)cos(x)+cos(x)√{(a^2)sin^2(x)+2bc}
0167１３２人目の素数さん
2005/09/08(木) 22:34:06a,b,cはなんのしばりもなし？正の実数とか？
0168１３２人目の素数さん
2005/09/08(木) 22:44:53a,b,cは共に正の実数です。
0169１３２人目の素数さん
2005/09/08(木) 22:53:20これはむずい。ホントにとけるの？このスレ出題ミス多いからな――。
0170１３２人目の素数さん
2005/09/08(木) 23:08:11ハイハイ ワロスワロス。
出典言ったろか？
0171１３２人目の素数さん
2005/09/08(木) 23:10:03x=arcsin{a/√(2a^2+2bc)}
0172１３２人目の素数さん
2005/09/08(木) 23:16:00もっと詳しく。
0173１３２人目の素数さん
2005/09/08(木) 23:16:40出典どこ？
0174１３２人目の素数さん
2005/09/08(木) 23:30:52そのままやっても何とかなりそうだが、微分しやすい形まで持ってって微分すりゃいいんじゃない？
細かいとこの記述は省くが、
1/cos^2x=t (1≦t)、2bc/(a^2)=dとおく。
g(t)=(ad)/f(x)=…=√((1+d)t-1)-√(t-1)
g'(t)=0より t=(2+d)/(1+d)でg(t)は最小。
0175１３２人目の素数さん
2005/09/08(木) 23:34:330176１３２人目の素数さん
2005/09/08(木) 23:47:50面独裁だけ。
0177１３２人目の素数さん
2005/09/09(金) 17:13:04(1) f(f(a))=3f(x)^2
(2) a>b
0178177
2005/09/09(金) 17:13:46条件(1)の右辺は3f(b)^2
0179１３２人目の素数さん
2005/09/09(金) 19:26:382bcとした出題者の意図を何とかして酌みたい
てか>>166は宿題かなんかを丸投げしたんだろなｗｗｗ
'ネ申'なんて恥ずかしい挑発つきだし
0180１３２人目の素数さん
2005/09/09(金) 20:24:09a>0,b>0,U1(x) =
{+∞ ( x ≦ -a ),0 (-a ≦x≦ +a ),+∞ ( x ≧ +a)}
に束縛され，定常状態になっている。
時刻t=t1→+∞でポテンシャルU2(x,t)を
a>0,b>0,V>0,U2(x,t) =
{+∞ ( x ≦ -a ),0 (-a ≦x≦ -b ),
Vt (-b ≦x≦ +b),+∞ ( x ≧ +a)}
にした時の、時間ｔに依存する波動関数の形と
領域Ⅰ(-a ≦x≦ -b )，領域ⅡⅠ(+b ≦x≦ +a )，
での粒子の存在確率を示せ。
0182１３２人目の素数さん
2005/09/09(金) 21:06:590183１３２人目の素数さん
2005/09/09(金) 21:45:270184白 ◇UHMji.H51Q
2005/09/09(金) 21:56:170185１３２人目の素数さん
2005/09/09(金) 22:17:380186１３２人目の素数さん
2005/09/09(金) 22:22:51>80だったか>81だったかもそうだけど。
0187１３２人目の素数さん
2005/09/09(金) 23:23:320188１３２人目の素数さん
2005/09/09(金) 23:28:310189166
2005/09/09(金) 23:42:46>>179
>>181
勝手な妄想でよくそこまで言い切れるなあ。
まあいいや。
俺が作った問題だよ。
この関数を最大とするようなｘは、
重力加速度をｇ=ｃとして、高さL=ｂ(m)の位置から
初速度V=a(m/s)の速度で物体を投げたときに飛距離が最大となるような
水平方向と初速度とのなす角に一致する。
体育で砲丸投げのテストがあるからこの問題をつくってみた。
砲丸投げのように飛距離が比較的短い場合は投射時の高さが無視できなくなる。
xはLとVの関数になるから、肩の高さ（≒L）を３/２として、
この前体育で練習した時の飛距離からおおよそのVを求めて
それらを基にｘを概算した結果、約３９度で最大になるらしい。
（ちなみに、練習時に４５度の角度に投げて１３/２（ｍ）飛んだ場合）
0190１３２人目の素数さん
2005/09/09(金) 23:54:420191１３２人目の素数さん
2005/09/09(金) 23:56:520192１３２人目の素数さん
2005/09/09(金) 23:57:420193１３２人目の素数さん
2005/09/10(土) 00:00:120194１３２人目の素数さん
2005/09/10(土) 00:10:470195１３２人目の素数さん
2005/09/10(土) 01:24:430196196
2005/09/10(土) 01:32:300197１３２人目の素数さん
2005/09/10(土) 01:35:56機転がきかないって事。
0198１３２人目の素数さん
2005/09/10(土) 02:04:200199１３２人目の素数さん
2005/09/10(土) 02:08:04物体を投げるんだったら空気抵抗による応力も必要なんじゃないか？
簡単な微分方程式と解く問題になるはず。
てか>>166が脳内で投げたのは質点であって物体ではない。
そうそう計算したら解答がx=pi/2ってなたから、取り合えずx=pi/2で砲丸投げて実験してみて。
0200166
2005/09/10(土) 02:28:04小さく無視できる。
ところでその pi って何？
0201１３２人目の素数さん
2005/09/10(土) 02:33:020202166
2005/09/10(土) 12:41:14cosπ/2が０になるから頭の上に落ちてくるぞ・・・。
あと、砲丸に大きさがあることの問題は砲丸の最下部から地面までの長さを
Lと定義することで解決できる。
0203166
2005/09/10(土) 15:37:08練習時に４５度の角度で投げて１３/２（ｍ）飛んだ場合、
同様の初速度で約３９度の角度で投げると飛距離が約6.9861(m)
になる。
あと1.39cm・・・・。
0204名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2005/09/10(土) 20:25:16ｲｺｰﾙじゃないの？
0205名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2005/09/11(日) 02:14:30本当に円になるの？
0206名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2005/09/11(日) 02:48:02なりません
0207名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2005/09/11(日) 14:20:19なるだろ
ばか
0208１３２人目の素数さん
2005/09/11(日) 14:24:07じゃあ証明してくれ
0209名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2005/09/11(日) 15:01:58すぐに反例が思い浮かぶんだが、是非とも証明していただきたい。
x-y-z空間を考え、球面 x^2+y^2+(z-2)^2=4 を考える。
この球面を平面、x=1で切った断面図は円である。
題意の影の形はこの場合、楕円になる・・・ま、計算してみ。
0210名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2005/09/11(日) 15:06:02円描いてしまえば OKだな。
0211１３２人目の素数さん
2005/09/11(日) 15:08:400212名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2005/09/11(日) 15:27:14まて、どおやって中心にするんだ？
どんな円？ イメージできん。
だって、球面上に円を描くんだろ？
球面上には中心ねーべ。
0213名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2005/09/11(日) 16:10:43“最高点”を通る円は平面上の“直線”に対応するから円にはならん。
0214名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2005/09/11(日) 19:10:00円。
0215名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2005/09/11(日) 19:18:170216名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2005/09/11(日) 20:58:04題意を満たすものは無いんじゃないかと。
0217名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2005/09/11(日) 21:13:04計算してみ。
0218名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2005/09/11(日) 22:00:45ｱﾌｵ？ですか？？
0219名無しさん＠そうだ選挙に行こう
2005/09/11(日) 22:35:57L(E,s)=(係数)×(s-1)のr乗+倍(s-1)の(r+1)乗以上の項}
このとき、rはこの楕円曲線上の点で、x,y両成分ともに有理数である点と無限遠点O全体のなす有限生成アーベル群のランクとなることを証明できるか？
0220１３２人目の素数さん
2005/09/12(月) 00:51:06(a1^k++a2^k+...+am^k)(a1^l+a2^l+...am^l)≦n(a1^(k+l)+a2^(k+l)+...am^(k+l))
を証明せよ
(2)0<pとして,曲線y=x(x-p)の0≦x≦pの部分とx軸の0≦x≦pの部分とでできる図形をCとする。
O(0,0),A(p,0)としたときOAを一辺としてCに内接するn角形（nは整数でｎ≧3）の面積の最大値をnとpを用いて表せ。
0221１３２人目の素数さん
2005/09/12(月) 00:59:33(1)m個の正の実数a1,a2,..amと正の整数k,lについて
(a1^k++a2^k+...+am^k)(a1^l+a2^l+...am^l)≦m(a1^(k+l)+a2^(k+l)+...am^(k+l))
を証明せよ
0222１３２人目の素数さん
2005/09/12(月) 15:56:470223１３２人目の素数さん
2005/09/12(月) 16:57:00(0,0,4)+(1/x)(x,y,-4)=(1,y/x,4-4/x).
1^2+(y/x)^2+((4-4/x)-2)^2=4.
x^2+y^2+(2x-4)^2=4x^2.
x^2+y^2-16x+16=0.
(x-8)^2+y^2=48.
0225１３２人目の素数さん
2005/09/12(月) 17:10:000226１３２人目の素数さん
2005/09/12(月) 17:12:25任意の円って書いてますけど
0227１３２人目の素数さん
2005/09/12(月) 17:20:00このとき球面上に描かれた最高点を通らない任意の円が
平面上に作る影はまた円であることを証明せよ。
0228１３２人目の素数さん
2005/09/12(月) 21:59:01「不等式への招待 第２章」
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/420-421
0229１３２人目の素数さん
2005/09/13(火) 00:06:22お、反応があった。なんかすごいな、帰納法を想定してたんだが
0230１３２人目の素数さん
2005/09/13(火) 03:09:03で証明は？
0231１３２人目の素数さん
2005/09/13(火) 03:45:430232１３２人目の素数さん
2005/09/13(火) 12:33:59不等式スレの住人は帰納法はあまり使わんだろ。
0233１３２人目の素数さん
2005/09/13(火) 22:10:35g(x)=tと置くとx=f(t)=t*sint
dx/dt=sint+t*cost
xが0→π/2のときtは0→π/2
∫[0→π/2]g(x)dx=∫[0→π/2]t(sint+t*cost)dt
∫t(sint+t*cost)dt=t^2*sint+t*cost-sint+Cから
∫[0→π/2]t(sint+t*cost)dt=π^2/4-1
0234１３２人目の素数さん
2005/09/15(木) 03:23:070235１３２人目の素数さん
2005/09/15(木) 08:58:20簡単過ぎか？
0236１３２人目の素数さん
2005/09/15(木) 13:22:31f(x)のx^(2n)の係数が正のとき
f(x)は連続でlim(x→-∞)f(x),lim(x→+∞)f(x)のいずれも+∞なので
f(x)の増減はxの値が小さい方から見ていくと
減少、増加、減少、・・・・、増加となる。
極値を取る点は増減の変わり目であるから ｙ＝ｆ（ｘ） のｸﾞﾗﾌは極値を奇数個持つ
f(x)のx^(2n)の係数が負のときも同様
0237１３２人目の素数さん
2005/09/15(木) 17:01:390238１３２人目の素数さん
2005/09/15(木) 17:09:050239239
2005/09/15(木) 19:00:540240１３２人目の素数さん
2005/09/15(木) 22:23:37ちょと論証的に弱いな。
0241１３２人目の素数さん
2005/09/15(木) 23:37:52ダメかな？でもそういうことじゃないの？
0242１３２人目の素数さん
2005/09/16(金) 00:22:010243１３２人目の素数さん
2005/09/16(金) 00:34:31x^3での原点みたいな状況→増減が変わらないので極値ではない
0244１３２人目の素数さん
2005/09/16(金) 00:50:41x^(2n)の係数が正のとき
減少で始まって増加で終わるから増減の変わり目(＝極値）は奇数個ってこと
0245１３２人目の素数さん
2005/09/16(金) 11:14:050246１３２人目の素数さん
2005/09/16(金) 17:14:42これでいいか？
f(x)=a_(2n)x^(2n)+a_(2n-1)x^(2n-1)+....+a_0とおくと(a_(2n),a_(2n-1),...,a_0は実定数でa(2n)≠0)
f'(x)=2n*a_(2n)x^(2n-1)+(2n-1)*a_(2n-1)x^(2n-1)+....+a_1となるので
・f'(x)=0の実数解は多くとも2n-1個
→極値は有限個。かつどんな小さな区間でもf(x)が定数となることは無い
・y=f(x)は全ての点で微分可能
以上からy=f(x)の増減が変わる点は極値をとる点と同値であるといえる。
また
an_(2n)>0のとき
lim(x→-∞)f(x)=lim(x→-∞){x^2n(a_(2n)+a_(2n-1)/x+....a_0/x^(2n)}=+∞
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞){x^2n(a_(2n)+a_(2n-1)/x+....a_0/x^(2n)}=+∞
an_(2n)<0のとき
lim(x→-∞)f(x)=lim(x→-∞){x^2n(a_(2n)+a_(2n-1)/x+....a_0/x^(2n)}=-∞
lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞){x^2n(a_(2n)+a_(2n-1)/x+....a_0/x^(2n)}=-∞
であるから、極値が有限個であることとあわせて
a_(2n)>0のとき
xが十分小さい値のときf(x)は減少し、十分大きい値のときf(x)は増加する
f(x)の増減はxの値が小さい方から見ていくと
減少、増加、減少、・・・・、増加となる。
極値を取る点は増減の変わり目であるから ｙ=f(x) のｸﾞﾗﾌは極値を奇数個持つ
a_(2n)<0のとき
xが十分小さい値のときf(x)は増加し、十分大きい値のときf(x)は減少する
f(x)の増減はxの値が小さい方から見ていくと
増加、減少、増加、・・・・、減少となる。
極値を取る点は増減の変わり目であるから ｙ=f(x) のｸﾞﾗﾌは極値を奇数個持つ
0247１３２人目の素数さん
2005/09/16(金) 21:09:03(2)綺麗になるのか？
0248１３２人目の素数さん
2005/09/16(金) 21:30:49tk=kp/(n-1)のときだというのはすぐわかる。しかし受験数学の解答としてスパっとエレガントな解が
なかなかみつからない。受験数学という縛りがなけりゃ簡単なんだけど。
0249１３２人目の素数さん
2005/09/16(金) 21:58:28(2)n角形の頂点のx座標を0=t1<t2<t3<･･･<tn=pとおく。Pi(ti,ti(ti-p))とおく。
線分Pi、P(i+1)とy=x(x-pでかこわれている部分の面積をSiとおく。
n角形の面積最大⇔粘i=(1/6)(t(i+1)-ti)^3が最小。そこでt(i+1)-ti=ui(1≦i≦n-1)とおいて
uiを条件ui≧0、盃i=pをみたしながら動かすときの盃i^3の最小値をもとめればよい。
凸不等式よりそれはui=p/(n-1)のとき。
0250１３２人目の素数さん
2005/09/16(金) 22:56:38ui>0だね。
その方法で(1)を利用するってのが考えてた方法なんだけど
0251１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 02:37:38長い
0252１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 04:02:0815 ：１３２人目の素数さん ：2005/09/16(金) 17:45:01
ではお言葉に甘えて。
次の不定積分をかっこよく求めてください
∫tanxtan2xtan3xdx
∫cos2x/cos3x dx
次の和を簡単にしてください
納k=1～n]coskθ/(cosθ)^k
0253１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 04:52:550254１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 06:48:43頑張ってるのは認めるが、結局>>236と同じだと思う。
核心の部分は直感に頼ってる悪寒。
じゃあ、お前書けと言うのは御法度ぢゃ。
0255１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 07:00:20[x]+[x+1/n]+[x+2/n]・・・・[x+n-1/n]=[nx]
0256１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 07:01:43次の等式を示せ。
[x]+[x+1/n]+[x+2/n]・・・・[x+(n-1)/n]=[nx]
0257１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 09:28:41このスレに時間を割かないほうがよい。
これマジレス
0258１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 13:03:36ますのりで類題見た悪寒。
でじゃぶー？
0259１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 13:40:00ｘがｍ／ｎを超えるとき両辺とも１変化する。
0260１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 15:20:06どれが？
0261１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 15:23:22ｱﾝｶｰの数字見えないのか？
漏れには見えるぞ。
0262１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 17:49:39ここで、勝ったほうがCに勝つとそのもの優勝とし、Cが勝つと全試合で負けたほうと勝負する。
ここで、Cが勝つと、Cの優勝、Cが負けると、という勝負を行う。
A、B、Cの優勝する確率を求めよ。
0263１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 17:50:280264１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 18:51:130265１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 19:39:370266１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 19:47:250267１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 20:02:430268１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 20:48:57> [x]+[x+1/n]+[x+2/n]・・・・[x+n-1/n]=[nx]
＿＿＿＿
／∵∴∵∴∴＼
/ ∵∴∵ （・）∴＼
/∵∴∴,（・）（・）∴|
|∵∵／ ○ ＼ |
|∵ / 三 | 三 | ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|∵ | ＿_|＿_ | ＜ >>255 おっ、名古屋市大の過去問だな…
＼| ＼＿/ ／ ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＿＿＿／⌒＼＿＿＿_／
/∵|∵|┗(〒) | |
|∵：|∵| ／ |∵| |
＿＿|∵：|∵| ＼ .|∵|＿|
ヽ、（＿二二⌒)__）. ＼
＿＿＿_|∴ | ＼二 ⌒l. ＼
|∴ |￣￣ |∵ |￣￣||
|∴ | |∵ | .||
|∴ | |∵ | .||
（￣￣） （￣￣） .||
0269１３２人目の素数さん
2005/09/17(土) 22:52:19{2^(2^n)}-1は少なくともn個の異なる素因数を持つことを示せ。
0270１３２人目の素数さん
2005/09/18(日) 01:12:03自然数pが1で無い自然数mの倍数であるときp=amと表すとp+2=am+2となるのでm≠2ならばp+2はmの倍数ではない
→pとp+2は1または2でない公約数を持たない・・・①
これを踏まえて数学的帰納法で{2^(2^n)}-1は少なくともn個の異なる素因数を持つことを示す。
1）n=1のとき2^(2^1)-1=3で1つの素因数を持つ
2）n=kのとき{2^(2^k)}-1は少なくともk個の異なる素因数を持つと仮定すると
{2^(2^(k+1))}-1=[{2^(2^k)}-1][{2^(2^k)}+1]
①と、{2^(2^k)}-1、{2^(2^k)}+1がともに2で割り切れないことから
{2^(2^k)}-1と{2^(2^k)}+1は互いに素となる→{2^(2^(k+1))}-1は少なくともk+1個の素因数を持つ
1）2）から{2^(2^n)}-1は少なくともn個の異なる素因数を持つ。
0271１３２人目の素数さん
2005/09/18(日) 03:22:27a_(n+1)=a_n+(1/a_n)のとき、
(1)lim[n→∞](((a_n)^2)/n)を求めよ。
(2)lim[n→∞](((a_n)^3)/Σ[k=1,n]a_k)を求めよ。
0272GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/09/18(日) 14:24:000273春巻龍
2005/09/18(日) 18:31:220274１３２人目の素数さん
2005/09/18(日) 20:21:120275１３２人目の素数さん
2005/09/18(日) 20:54:59ln(2)+1≒1.693<a_2
0277１３２人目の素数さん
2005/09/18(日) 22:46:21ほんと？a(n)～√(2n)じゃね？
0278１３２人目の素数さん
2005/09/18(日) 22:46:3925≦(a+b+c+d+e)(1/a+1/b+1/c+1/d+1/e)≦28を示せ。
0279GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/09/18(日) 22:48:140280１３２人目の素数さん
2005/09/18(日) 22:55:39？？？だから何？？？それでln(n)+1?a_nなんかいえるん？
a_{n+1}^2=a_n^2+2+1/(a_n^2)だからすくなくともa_n^2≧2nだから
a_nがlogオーダーなんかありえんと思うんだけど。
0281１３２人目の素数さん
2005/09/18(日) 23:32:34b_n=a_n^2-(2n-1)とおく。b_0=0、b_(n+1)=b_n+1/(b_n+2n-1)。
0≦b_n≦lognをしめす。b_n≧0はあきらか。右側の≦は帰納法でしめす。
n=1であきらか。n=kで成立するとして
b_(k+1)=b_k+1/(b_k+2k-1)≦b_k+1/(2k-1)≦logk+1/(2k-1)≦logk+1/k≦log(k+1)
(∵log(k+1)-logk=log(1+1/k)≦1/k。)よってすべての自然数で成立。
∴√(2n-1)≦a_n≦√((2n-1)+logn)≦√(2n-1)+logn。
（左側の≦はn=1で自明、n≧3では２乗して容易、n=2では√(1+log2）≦1+log2だがこれも容易)
よって納k=1,n]√(2k)≦納k=1,n]a_k≦納n=1,n](√(2k)+logk)。
ここで
納k=1,n]√(2k)≧(1/3)(2n)^(3/2)
納k=1,n]√(2k)+logn≦(1/3)(2n)^(3/2)+√(2n)+nlogn-n+logn
によりlim[n→∞]納k=1,n]a_k/n^(3/2)=(1/3)2^(3/2)
0282281
2005/09/19(月) 00:15:590≦b_n≦logn+1をしめす。b_n≧0はあきらか。右側の≦は帰納法でしめす。
n=1であきらか、n=2でb_2=1≦log2+1で成立。n=k≧2で成立するとして
b_(k+1)=b_k+1/(b_k+2k-1)≦b_k+1/(2k-1)≦logk+1/(2k-1)≦logk+1/(k+1)≦log(k+1)
(∵logk-log(k+1)=log(1-1/(k+1))≦-1/(k+1)。)よってすべての自然数で成立。
∴√(2n-1)≦a_n≦√((2n-1)+logn+1)≦√(2n-1)+logn+1。
（左側の≦は２乗して容易)
よって納k=1,n]√(2k-1)≦納k=1,n]a_k≦納n=1,n](√(2k-1)+logk+1)。
ここで
納k=1,n]√(2k-1)≧(1/3)(2n-1)^(3/2)
納k=1,n](√(2k-1)+logk+1)≦(1/3)(2n-1)^(3/2)+√(2n)+nlogn-n+logn+n
によりlim[n→∞]納k=1,n]a_k/n^(3/2)=(1/3)2^(3/2)
0283１３２人目の素数さん
2005/09/19(月) 00:41:46まぁまぁ、気にしなさんな。
kingが、的外れなレスをつけることなど日常茶飯事、茶番劇！
いつものように、ただ数字遊びをしたかっただけだから。
スルーしてあげて、病気だから。
退院したばっかりなんだし…
0284１３２人目の素数さん
2005/09/19(月) 01:18:58任意の実数aに対してxの方程式f(x)=0が
ただ1つの実数解をもつような実数bの条件を求めよ。
0285１３２人目の素数さん
2005/09/19(月) 01:24:020286１３２人目の素数さん
2005/09/19(月) 01:28:30俺こういうの見ただけで頭痛くなるんだが
なんとかぱっとみて理解する方法ってねーのか
0288１３２人目の素数さん
2005/09/19(月) 12:39:00x≠0の任意の実数xでf(5x)=f(x)となる関数を１つ上げよ
0289１３２人目の素数さん
2005/09/19(月) 12:42:310290１３２人目の素数さん
2005/09/19(月) 12:58:14おまえはペプ！
0291１３２人目の素数さん
2005/09/19(月) 13:38:21f(x)=sin(2π*(log_5(|x|)))
0292１３２人目の素数さん
2005/09/20(火) 01:04:18どうやってみつけるんだ？
0293１３２人目の素数さん
2005/09/20(火) 01:04:52・ ＼ ／ ＼ ／ ＼ ／ ＼ ／
；(●))(●)(●)(●)llll)(●)(●)(●)((●)；
(●)(●)(●)(●))(●)(●)(●)(●))(●)(●)
＼＿＿ (●)(●)●)●)(●))(●)(●)(●)(●)(●))(●)＿＿／ カサカサ
(●)(●)(●)(●))(●)(●)(●)(●)(●)(●)(●)
＿＿(●)(●)((●)((●))(●)(●)(●))(●)(●)(●)(●)＿＿
／ (●)(●)(●)(●)(●))(●)(●)(●))(●)(●)(●)(●) ＼
＿ (●)(●)(●)(●)(●)(●)(●)(●)))(●)(●)(●)(●)＿
／ (●)(●)(●)(●)(●))(●)(●)(●))(●)(●)(●)(●) ＼
＿(●)(●)●)(●)(●))(●)(●)(●))(●)(●)(●)(●)＿
(●)(●)(●)(●))(●)(●)(●)(●)(●)(●)(●)
＿＿(●)(●)((●)((●))(●)(●)(●))(●)(●)(●)(●)＿＿
／ (●)(●)(●)(●)(●))(●)(●)(●))(●)(●)(●)(●) ＼
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／ (●)(●)(●)(●)(●))(●)(●)(●))(●)(●)(●)(●) ＼
＿(●)(●)●)(●)(●))(●)(●)(●))(●)(●)(●)(●)＿
(●)(●)(●)(●))(●)(●)(●)(●)(●)(●)(●)
＿＿(●)(●)((●)((●))(●)(●)(●))(●)(●)(●)(●)＿＿
／ (●)(●)(●)(●)(●))(●)(●)(●))(●)(●)(●)(●) ＼
＿ (●)(●)(●)(●)(●)(●)(●)(●)))(●)(●)(●)(●)＿
／ (●)(●)(●)(●)(●))(●)(●)(●))(●)(●)(●)(●) ＼
＿(●)(●)●)(●)(●))(●)(●)(●))(●)(●)(●)(●)＿
／ (l●)(●)(●)(●)))(●)(●)(●)(●)(●)(●)(●l；) ＼
| . (l；●)(●)(●))(●))(●)(●)(●)(●)(●)(●)(●) |
| . (0●)(●)(●)(●))(●)(●)(●)(●)(●))(●)Ｏ) |. カサカサ
,;; (：●)●)(●)(●)(●)(●)(●)(●))(●))(●；) 。
(о●)(●))(●)(●))(●)(●)(●)(●)●0)
0294１３２人目の素数さん
2005/09/20(火) 01:51:47f(x) = x/x がそうですが何か？
定数関数はいけないなどと、どこにも書いてないからな。
プケラッチョ！
0295１３２人目の素数さん
2005/09/20(火) 09:20:00>>289
0296１３２人目の素数さん
2005/09/20(火) 09:59:30同じと思っているのかね？
おめでたいな。
0297１３２人目の素数さん
2005/09/20(火) 10:20:000298１３２人目の素数さん
2005/09/20(火) 11:47:430299１３２人目の素数さん
2005/09/20(火) 13:30:250300１３２人目の素数さん
2005/09/20(火) 14:30:00ｘ∈Ｃ－Ｒのときｆ（ｘ）＝（０，ｘ）。
ｘ＝（９，２５）のときｆ（ｘ）＝Ｒ＾３。
0301１３２人目の素数さん
2005/09/20(火) 18:10:14（０，ｘ）？
（９，２５）？
Ｒ＾３？
0302１３２人目の素数さん
2005/09/20(火) 18:42:12いつから全角に
0303１３２人目の素数さん
2005/09/20(火) 21:28:33毒電波は、チラシの裏に書け！
0304GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/09/20(火) 21:56:430305１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 00:00:372005個の点それぞれに対して最も距離の近い点を赤く塗る。
(1)赤く塗られる点の個数の最大値は2004であることを示せ。
(2)赤く塗られる点の個数の最小値を求めよ。
0306１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 01:03:382点A、BについてAに最も近い点がB、Bに最も近い点がAであるときAとBは“相愛”と呼ぶことにする。
またAに最も近い点がBで、Bに最も近い点がAのほかにあるとき“片思い”と呼ぶことにする。
さてn個(3≦n≦2005）の点についてA1,A2,A3,...Anと名前をつけたとき（残りの点ははるかかなたにあると考えていい）
A1に最も近い点はA2
A2に最も近い点はA3
A3に最も近い点はA4
・
・
・
A(n-1)に最も近い点はAn・・・①
というようにとるとA(n-1)とAnのみ相愛となり、2以上のｋについてAkA(k-1) ＜A1A2となるから
A1が赤くぬられることはない。
したがって3つ以上の点でこのような関係になると1つの点が塗られなくなる。
どの2点間の距離も異なることから全ての点を2個ずつの相愛のペアにしないと全て塗ることはできないが2005個ではそれが不可能。
また1個を除いた2004個を全て相愛ペアにするか、2005個の点について①のような関係にしたとき、1点を除いて全て塗ることができる。
したがって赤く塗られる点の個数の最大値は2004
(2)
(1)の①のような関係のグループを多数作ればそれだけ塗らない点が増えるので
2005個の点を①のような関係の3個ずつのグループ667組と4個ずつのグループ1組に分けられるような場合
668個の点が塗られなくなる。
このとき赤く塗られる点の個数は1337個でこれが最小
0307１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 01:12:31孤立した1個に最も近い点がすでに塗られてる場合1336個になるか？
0308１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 01:20:00ただし、どの2点間の距離も等しくてはならないので、十分に小さな距離だけズラして配置する。
こうすると7点のなかで、赤く塗られる点は中心の2つの点のみになる。
この方法で288個まで赤い点を減らせるが最小かどうかは知らない。
0309１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 01:28:240310１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 01:30:000311１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 01:30:550312１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 01:37:140313１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 02:04:22もとの正5角形の頂点2点とあわせて8点中赤く塗られるのは中心の2点。
さらに、貼り合わせたつなぎ目の点を切り、反対側の頂点を中心に回転して広げ
各辺の長さの等しい7角形をつくると、9点中赤い点を2つにできる。
0314１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 08:43:56意味がわかんねー。正５角形ABCDEを用意して隣り合う３辺の組って
AB,BC,CD、BC,CD,DEとか？これをどうやってはりあわせるの？
0315１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 09:10:160316１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 10:15:00Ａが中心の正六角形の頂点の一つがＢで
Ｂが中心の正六角形の頂点の一つがＡになるようにして
ＡとＢから等距離にある点の一つを取り除き
ＡＢ以外の点をＡＢを中心とした円周上を
取り除かれた点のほうへ広がるように移動する。
>>315
中心から一番近い点は中心以外だから二点。
0317１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 19:40:45最小値を下から評価する。
すでに塗られている点も塗ることで、塗る操作を2005回行うことにする。
このとき「どの点も6回以上塗られることはない」ことを示す。
点Pが6回塗られたと仮定する。このときPは6個の点A、B、C、D、E、Fの
それぞれから一番近い点となる。
∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPE+∠EPF+∠FPA＝360°だからこの6個の角のうち
少なくとも一つは60度以下。∠APB≦60°としてよい。
△APBで∠A+∠B+∠P=180°だから最大の角は60度より大きい。
（最大の角が60°なら正三角形になり題意に反する）
∠P≦60°だから∠Aまたは∠Bが60°より大。
∠A＞60°とすれば∠P＜∠Aとなる。
三角形の辺は見込む角が小さいほうが短いことが知られるので
AB＜PBとなり、Bから一番近い点がPであるとした仮定に反する。
よってどの点も6回以上塗られることはない。
だから最小値は2005/5=401より小さくなれない。
0318１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 22:30:21この数に対し、
[2.3.9.54.214]
をブレーク係数で当てはめた場合、比例係数で表せ。
また五十音順に表す時は四捨五入せよ。
0319１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 23:40:12馬鹿か？
もう少し頭を冷やしてから来い！
ペプシ野郎！
0320１３２人目の素数さん
2005/09/23(金) 23:44:58シュワー
0321１３２人目の素数さん
2005/09/24(土) 00:20:580322１３２人目の素数さん
2005/09/24(土) 00:22:300323１３２人目の素数さん
2005/09/24(土) 01:19:00GJ
>>305
できたよん。
以下平面には複素座標を導入する。各複素数αにたいしargαは[0,2π)にとる。
複素平面の有限集合Sにたいして以下の条件を設定する。
(*)Sは2元以上をもちP,Q,R,S∈Sに対して{P,Q}≠{R,S}⇒|PQ|≠|RS|
(*)を満たすSの各元PにたいしてPにもっとも近いS＼{P}の元をN(P,S)あるいは単にN(P)と書く。
補題１ (*)を満たすSとP∈SにたいしT={Q| N(Q)=P}とおくとき#T≦5。
証明 >>317
補題２ (*)をみたすSとN(P)=Q、N(Q)=PをみたすP,Q∈SにたいしT={R| N(R)=P or Q}
とおくとき#T≦9。
証明 #T≧10と仮定して矛盾をみちびく。P,Qの複素座標を-1,1としてよい。
このとき補題1よりS＼{P,Q}の相異なる元A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3,B4を
N(Bi)=P、N(Bj)=Qとできる。さらにAi,Bjの複素座標をαi、βjとするとき
arg(α1+1)<arg(α2+1)<arg(α3+1)<arg(α4+1)、
arg(1-β1)>arg(1-β2)>arg(1-β3)>arg(1-β4)としてよい。
補題１よりarg(α4+1)-arg(α1+1)>π、arg(1-β1)-arg(1-β4)>π。
よって∠A1PQ+∠B1QP<πとして一般性をうしなわない。
そこで平行線l//mをP∈l、Q∈m、A1,B1がlとmではさまれる帯領域にあるようにとれる。
imα1,imβ1>0に注意する。imα1<imβ1として一般性をうしなわない。
nをA1をとおり実軸に平行な直線とする。
(i)imα1≦2のとき。
nと円|z+1|=2、|z-1|=2の交点をU,Vとする。(u,vをその複素座標とする。)
uの虚部=α1の虚部、uの実部<α1の実部<0<β1の実部
より|B1A1|<|B1U|。一方仮定より|B1A1|>|B1Q|。∴|B1U|>|B1Q|。よって
B1は菱形PQVUの対角線PVでわけられる半平面のQとおなじ側にある。
しかしこの半平面のうち平行線l,mではさまれる帯の部分はimz≦0にふくまれる。
これはimβ1>0に反する。
(続く)
0324１３２人目の素数さん
2005/09/24(土) 01:23:49nとl,mの交点をX,Yとする。(x,yをその複素座標とする。)
xの虚部=αの虚部、xの実部<α1の実部<0<β1の実部と仮定から(i)同様に|B1X|>|B1Q|。
するとB1はXQの垂直２等分線でわけられる半平面のQと同じ側にあるが
しかしこの半平面のうち平行線l,mではさまれる帯の部分はimz≦0にふくまれる。
これはimβ1>0に反する。
いづれにしても矛盾がえられた。□
以下整数を定義域とする関数fを
f(n)=2[(n-1)/9]+1 (n≡1 (mod 9)のとき)
f(n)=2[(n-1)/9]+2 (それ以外のとき)
で定める。fが単調増大であることを注意する。
定理 Sが(*)をみたすときU={N(R)| R∈S}とおけば#U≧f(#S)。
証明 #Sに関する帰納法。#S≦9ならf(#9)=2ゆえ自明。#S=10のときは#U=2は
補題２に反するゆえ#U≧3。よって成立。11以上の整数kにたいして#S<kで成立すると
仮定して#S=kと仮定する。このときP,Q∈SでN(P)=Q、N(Q)=Pを満たすものがとれる
ことが容易にしめされる。そこでT={R| N(R)=P or Q}とおけば補題２より#T≦9。
E=T＼U∪{P,Q}とおき、S’=S＼E、U’={N(R,S’)| R∈S’}とおけば
構成よりU’=U＼{P,Q}。よって#U=#U’+2。一方帰納法の仮定より
#U’≧f(#S’)=f(#S-#E)≧f(#S-9)=f(#S)-2。
以上により#U≧f(#S)。□
でn≧2にたいし#S=nなるS⊂Cを#U=f(#S)をみたすようにとれるのは>>316で
ほぼしめされてるから>>305の答えは2[2004/9]+2のハズ。
0325１３２人目の素数さん
2005/09/24(土) 02:06:48n≧4に対して
f(n)=2[(n-1)/9]+1 (n≡1,2,3 (mod 9)のとき)
f(n)=2[(n-1)/9]+2 (それ以外のとき)
が正確な気がする。
答えは変わらないけど。
0326１３２人目の素数さん
2005/09/24(土) 07:53:290327１３２人目の素数さん
2005/09/25(日) 00:44:05ｎは正の整数。
0328１３２人目の素数さん
2005/09/25(日) 01:12:200329１３２人目の素数さん
2005/09/25(日) 01:24:50[ (3(2n+1)^2)/4 +1/2 ]
ただし、 [x]はxを超えない最大の整数
0330１３２人目の素数さん
2005/09/25(日) 01:37:30xy平面においてｋを正の整数とすると
x+2y=k,x>0,y>0の格子点は
kが奇数のとき(1,(k-1)/2)(3,(k-3)/2)(5,(k-5)/2)....(k-2,1)まで(k-1)/2個ある。
kが偶数のとき(2,(k-2)/2)(4,(k-4)/2)(6,(k-6)/2)....(k-2,1)まで(k-2)/2個ある。
ｋ=6n-3z=3(2n-z)とするとzのとりうる値は1≦z≦2ｎ-1
ｚ=2i-1(i=1,2,3,...n)のとき格子点は(6n-3(2i-1)-1)/2=3n-3i+1個
z=2i(i=1,2,3,...n-1)のとき格子点は(6n-6i-2)/2=3n-3i-1個
Σ[i=1,n](3n-3i+1)=3n^2-3n(n+1)/2+n=3n^2/2-n/2
Σ[i=1,n-1](3n-3i-1)=3n(n-1)-3n(n-1)/2-(n-1)=3n^2/2-5n/2+1
(3n^2/2-n/2)+(3n^2/2-5n/2+1)=3n^2-3n+1個
なんかチガウっぽいなー
0331１３２人目の素数さん
2005/09/25(日) 02:24:40|1-wz|=1-|w/z|が成り立っている。
また、z+(z-(1/z))k (kは実数)が実数となるとき、その値をα、
z+(z-(1/z))kが純虚数となるとき、その値をβとすると
zを固定したときの|w|の最大値は|α+β|であることを示せ。
0332１３２人目の素数さん
2005/09/25(日) 03:52:16これって、もっとエレガントな問題に書き換えられないかな？
問題文が美しくない
0333331
2005/09/25(日) 05:58:31複素数の定数α(|α|≠0,1)と、複素数zについて
|1-αz|=|1-(z/α)|が成り立っている。
|z|の最大値を求めよ。
つまらなくなったな・・・
0335１３２人目の素数さん
2005/09/25(日) 08:50:20>>330は正の整数ととってるようだ。そうとるのが自然かな？
>>329は考え方が一切明示されてないからなんとも
0336１３２人目の素数さん
2005/09/25(日) 11:40:17mathematicaで確認したら、どっちもほとんど同じ値が出てきた。
>>329はx,y,zを非負整数としてみた場合、本質的に>>330と同じ答え
0337１３２人目の素数さん
2005/09/25(日) 15:03:26a^2+b^2=1、c^2+d^2=1,、b≧0、d≧0
このとき、xy平面上の点 （(a+c)/2, (b+d)/2） が存在する部分の面積を求めよ。
0338１３２人目の素数さん
2005/09/25(日) 15:12:04え？？？ 問題間違ってない？
0339１３２人目の素数さん
2005/09/25(日) 15:20:000340１３２人目の素数さん
2005/09/25(日) 15:21:390341１３２人目の素数さん
2005/09/25(日) 16:25:290342１３２人目の素数さん
2005/09/25(日) 16:47:170343１３２人目の素数さん
2005/09/25(日) 19:27:09幾何以外の解法は可能で塚？
0344１３２人目の素数さん
2005/09/25(日) 20:10:02（ｘ，ｙ）≠（０，０）のときｘ＾２＋ｙ＾２≦１。
ｇ＝√（（１－ｘ＾２－ｙ＾２）／（ｘ＾２＋ｙ＾２））。
（ａ，ｂ），（ｃ，ｄ）＝（ｘ＋ｙｇ，ｙ－ｘｇ），（ｘ－ｙｇ，ｙ＋ｘｇ）。
０≦ｙ－ｘｇかつ０≦ｙ＋ｘｇ。
０≦ｙかつｘ＾２ｇ＾２≦ｙ＾２。
０≦ｙかつ０≦（ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｘ）（ｘ＾２＋ｙ＾２－ｘ）。
０≦ｙかつ０≦ｘ＾２＋ｙ＾２＋ｘかつ０≦ｘ＾２＋ｙ＾２－ｘ。
0345１３２人目の素数さん
2005/09/25(日) 21:46:15尊敬しまつ。
0346１３２人目の素数さん
2005/09/26(月) 09:45:53東大実戦の問題らしいです。
0347１３２人目の素数さん
2005/09/26(月) 18:18:25力技むりぽ
0348１３２人目の素数さん
2005/09/26(月) 19:42:080349１３２人目の素数さん
2005/09/26(月) 20:00:40これ>>346の答え？答えπ入らんの？
0350１３２人目の素数さん
2005/09/26(月) 20:34:16お前は346ではないな。346はわしじゃ！！！
0351１３２人目の素数さん
2005/09/26(月) 20:35:58?
0352１３２人目の素数さん
2005/09/26(月) 20:36:33おれ>>349だけどなにか？>>346だなんて一言もいってないけど？
0353１３２人目の素数さん
2005/09/26(月) 20:50:21三角形GHIの内接円を外接円とする三角形JKLの内接円を外接円とする三角形PQRの内接円を
外接円とする三角形STUがある
円Oの半径をR、三角形ABCの∠Aを30°とする時三角形STUの内接円の半径rを求めよ
0354１３２人目の素数さん
2005/09/26(月) 20:51:510355１３２人目の素数さん
2005/09/26(月) 22:54:530357１３２人目の素数さん
2005/09/26(月) 23:21:19試しにa=√3として
xyz空間上に正四面体の頂点として(1,0,0)(-1/2,√3/2,0)(-1/2,-√3/2,0)(0,0,√2)をとってみたけど
z≧0の部分は断面書いたら何とかなりそうだがz<0の部分がぬるぬるポッポー
0358１３２人目の素数さん
2005/09/26(月) 23:55:310359１３２人目の素数さん
2005/09/26(月) 23:58:45俺にはできないが、できない問題ってわけでもなさそうだから釣りじゃないだろ
0360１３２人目の素数さん
2005/09/27(火) 00:12:200361１３２人目の素数さん
2005/09/27(火) 00:12:37おれはとりあえず4頂点をABCDにしてABCDの外接円の中心をO、半径を1にした。
一辺は√(8/3)。で平面BCDと平行でAとの距離がhである平面を考えαとした。
αと直線AB,AC,ADとの交点をE,F,Gとすると△EFGは△ABCと相似で相似比が
4/3:hであるので一辺が√(8/3)(3h/4)=(√(3/2))hの正三角形。
つぎにαと球S:|PA|≦√(8/3)の共通部分をかんがえる。EFGの重心をHとすると
AH=hなのでそれは半径√(8/3-h)^2の円。
でα上の三角形EFGと円S∩αの面積もとめるんだけどこれがメンドイ。
4/3≦h≦2のうち8√(11/3)≦h≦2のとこは円になるからいいんだけど
4/3≦h≦8√(11/3)のとこでは
π((8/3)-h^2)(1-3arcsin(s)+(3/2)((8/3)-h^2)s
(ただしs=√(((3/8)h)/((8/3)-h^2)))
これを4/3≦h≦8√(11/3)で積分･･･やりたくねーと思ってギブ。
0362１３２人目の素数さん
2005/09/27(火) 00:15:42>344 より
x^2 + y^2 ±x = {(a+c)/2}^2 + {(b+d)/2}^2 ± (a+c)/2 = ･･･
= (a^2 +b^2 -1)/4 + (c^2 +d^2 -1)/4 + bd/2 + (1±a)(1±c)/2 ≧ bd/2.
題意より b≧0, d≧0 だから (左辺) ≧ 0.
逆に (x,y)が上式を満たせば、>344 より g≦|y/x|.
∴ α,β = Arctan(y/x) ± Arctan(g) は [0,π] にありまつ。
∴ (a,b) = (cosα, sinα), (c,d) = (cosβ, sinβ) とすればよい。
※ ここで Arctan() の値域は [0,π] としますた。
0363１３２人目の素数さん
2005/09/27(火) 00:20:06どのスレ？
数学の質問スレ、問題出し合うスレ、東大数学スレ、東大実践スレのぞいてみたけどなかった。
0364１３２人目の素数さん
2005/09/27(火) 00:24:290365１３２人目の素数さん
2005/09/27(火) 00:31:470366１３２人目の素数さん
2005/09/27(火) 00:34:07>>329 の式は ↓ になるらしいYo...
[ {3(2n+1)^2}/4 +1/2 ] = [ 3{n(n+1) +1/4} +1/2 ] = 3n(n+1) + [ 3/4 + 1/2 ] = 3n(n+1) +1.
0367１３２人目の素数さん
2005/09/27(火) 00:36:350368367
2005/09/27(火) 00:45:350369１３２人目の素数さん
2005/09/27(火) 00:49:07球面と2つの平面でさえ求積できる場合はごく限られている。
>>346が解けたらその奇跡と美しさに間違いなく感動する。
0370１３２人目の素数さん
2005/09/27(火) 00:53:440371１３２人目の素数さん
2005/09/27(火) 01:30:400372１３２人目の素数さん
2005/09/27(火) 17:20:36もしかして、ここの最後らへんの投稿が出典元？
0373１３２人目の素数さん
2005/09/27(火) 21:43:51ID:0差し込んでカットしたかけらの８倍
あとは自分でやってね
0374１３２人目の素数さん
2005/09/27(火) 22:07:30ID:0ホンマか？ 形は違うようだが？
0375１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 01:10:20難しい稜のところは除外して、残りの部分の体積を考える。
Aを中心とする半径aの球面を考える。頂点B,C,D はこの球面上にある。
平面ABC, ACD, ADBのうちの2面がなす角は、いずれも θ= arccos(1/3) = 70.5287794…°
球面三角法の面積公式から、
S_o = (3θ-π)a^2 = arccos(23/27)･a^2 = 0.5512856…a^2.
V_o = (a/3)S_o = (arccos(1/3) - π/3)a^3 = 0.183761866…a^3.
一方、正四面体ABCDの表面積および体積は
S_4 = (√3)a^2, h = √(2/3) a,
V_4 = (h/12)S_4 = {1/(3√8)}a^3.
∴ 求める体積は
V_4 + 4(V_o -V_4) = {4arccos(1/3) -(4/3)π - (1/√8)}a^3 = 0.381494073…a^3
これは 求める体積 0.3925…a^3 より若干小さい。
0376１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 16:20:450377１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 19:07:110378１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 20:08:22>>377みたいな糞くだらないこと言う香具師がいて激しく萎えることがよくある
測ればいいじゃんとか数えればいいじゃんとか物質名ビンのふたに書いてあるじゃんとか
0379１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 20:19:000380空欄を補充しなさいｗ
2005/09/28(水) 20:20:29ーーーーーーーー特権階級の壁ーーーーーーーーー
超最高神：（ ） 哲学 神学 形而上学 抽象的
ーーーーーーーーメタ・超越の壁ーーーーーーーーー
脱最高神：理論物理学←形而下学ｗ 具体的
ーーーーーーーーー真理の壁ーーーーーーーーーー
最高神：最高裁判事 主要官庁次官 皇族
一等神：財務・経済産業・総務省 日本の心臓部
二等神：浅田彰 批評空間 天才 米国大統領ｗ
ーーーーーーーーー聖域の壁ーーーーーーーーーー
三等神：文部科学省 神一人で皇帝１０人を支配
四等神：厚生労働省 主に医学部教授で構成
ーーーーーーーーー権力の壁ーーーーーーーーーー
皇帝：物理学者 相対的な権力者
大臣：（ ） 皇帝のブレーンとして不可欠な存在
貴族：宇宙物理学者 地球物理 皇帝の血族
ーーーーーーーー支配階級の壁ーーーーーーーーー
大商人：Bill Gates Google Warren E. Buffett
ーーーーーーーーー富裕層の壁ーーーーーーーーー
商：生物学者 地位は低いが景気（流行）もあって
結構いい思いをしている
ーーーーーーーー人気・好感度の壁ーーーーーーーー
工：地鉱学者 影が薄い
農：化学者 実際一番圧力が厳しく貧しい暮らしをしている。
ーーーーーーーーー人間の壁ーーーーーーーーーー
奴隷：ゴミ講究 被差別階級。大臣が直々に管理。
ーーーーーーーー生存不能の壁ーーーーーーーー
飽食：博士崩れ 元は支配階級だったものの没落。
稀に復活する者もいるが大半は野垂れ死に。
ーーーーーーーーーバカの壁ーーーーーーーーー
その他：どうしようもないｗ
0381１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 20:24:000382１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 20:25:38任意の３次関数f(x)について∫f(x)g(x)dx=0が成立するような２次以下の多項式を求めよ？
積分区間がわからんけど明らかにg(x)≡0しかないような。それを示せ？
0383１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 20:31:330384１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 20:36:24任意のモニックな３次関数f(x)について∫[-1,1]f(x)g(x)dx=0が成立するなら
任意の実数kについて∫[-1,1](x^3+kg(x))g(x)dx=0が成立するからｋの定数項と
１次の項はともに０。よって∫[-1,1](x^3)g(x)dx=0、∫[-1,1]g(x)^2dx=0よりg(x)=0。
でいいんでね？
0385１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 20:38:22答えあんの？
0386384
2005/09/28(水) 20:39:060387385
2005/09/28(水) 20:39:370389１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 20:56:34答えはa=c=0を満たす3次式。
0390１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 21:02:15<f,g>=<x^3,g>+a<x^2,g>+b<x,g>+c<1,g>=0
=d<x^5>+(e+ad)<x^4>+(f+ae+bd)<x^3>+(f+be+cd)<x^2>+(bf+ce)<x>+cf<1>
=(e+ad)<x^4>+(f+be+cd)<x^2>+cf<1>=0
f=0,e=-ad=-a^2b/c,d=ab/c (c<>0)
f=-be,e=-ad,d=any (c=0)
0391１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 21:02:36はぁ？？g(x)を決定せよの答えがなんで３次式やねん？？？
0392１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 21:06:41こっちが本問
0393１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 21:10:52それで答えがa=c=0？そんなハズねー。任意の二次関数g(x)について
∫[-1,1]f(x)g(x)=0である３次関数f(x)は存在しないだろ？
0394１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 21:15:38計算ミス
0395１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 21:18:00[x^3/3]=2/3!=0.
0396１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 21:25:34p、q、rを任意の定数としてg(x)=px^2 +qx+rとおく
∫[-1,1]f(x)g(x)dxを計算
計算式をp、q、rについて整理
奇関数、偶関数の考えを利用
得られた式が0となるための条件を恒等的に求める
f(x)の決定
0397393
2005/09/28(水) 21:28:01f(x)=((x^2-1)^3)’’’/120は任意の２次以下の多項式g(x)について
∫[-1,1]f(x)g(x)dx=0を満たす唯一のモニック多項式だ。これがこたえね。
0398１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 21:34:140399１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 21:34:340400１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 21:37:41これでは一点ももらえない
0401393
2005/09/28(水) 21:46:520402１３２人目の素数さん
2005/09/28(水) 22:18:580403１３２人目の素数さん
2005/09/29(木) 00:21:33(a-b)/2=∫[cos(a),cos(b)]√(1-(x^2))dxを満たすa,bが存在するようなaの条件を求めよ。
0404１３２人目の素数さん
2005/09/29(木) 00:23:21?
0405１３２人目の素数さん
2005/09/29(木) 00:26:31ヒント:円
0406１３２人目の素数さん
2005/09/29(木) 00:29:46?
0407１３２人目の素数さん
2005/09/29(木) 00:31:410408１３２人目の素数さん
2005/09/29(木) 00:38:51偏角がa,bとなる点を単位円上にとってA,Bとする。A,Bからx軸におろした垂線の足をとする。
左辺はOA,OB,小弧ABでかこわれる部分の面積、
右辺はAC,BD,CD,小弧ABでかこわれる部分の面積。
よって左辺-右辺=△OACの面積-三角OBDの面積。
△OACの面積=(1/2)sinacosa=(1/4)sin2a、
△OBDの面積=(1/2)sinbcosb=(1/4)sin2b
なので結局sin2a=sin2b、0<b<aなるbが存在するaの範囲がもとめるaの範囲。
それはπ/4<a<π/2。
0409１３２人目の素数さん
2005/09/29(木) 01:27:34x=|sin(ny)|とy軸で囲まれる領域をD2
4点(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)を頂点とする正方形の内部の領域をD3
D1,D2,D3の共通部分の面積をSとするとき
lim[n→∞]Sを求めよ。
0410１３２人目の素数さん
2005/09/29(木) 01:39:53年度でやると ～0.422157a^3 になったが...
0411n厨
2005/09/29(木) 06:37:59向こうの掲示板にも書きましたが、>>346は幾何学大辞典５巻に載っています。
Amer,Math.Monthly,Vol.16(1909)の課題274
正式名称はAmerican Mathematical Monthlyですかね?
アメリカの数学雑誌による懸賞(?)問題か演習問題かは知りませんが。
僕が見つけたのはスレのタイトルがあれですが
受験板の「京医首席 改め俺と戯れるスレ」の>>501
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1124026804/l50
この共通部分がどんなのであるかは
ttp://image.blog.livedoor.jp/czax/imgs/f/2/f2dc9f2c.PNG
図でN,Mが途中変わっていますがNをABの中点,MをDCの中点としています。
赤い部分はAによる球欠の一つでこれがそれぞれの面に４つあります。
手書きで汚いのはご容赦を。
尚、幾何学大辞典の解答は見ていただければわかると思いますが間違っています。
因みに答えはどうやっても逆関数、あるいは自分で設定した定数を用いないと出せないようです。
先の出題者がなぜ実戦だと偽ったのかは知りませんが、これが仮に本当に出題されていたとしたら
・多重積分を使わずに時間内に出せるだろうか？(多重積分を使えばわりかし速くできます。)
・問題文の文字a以外を使わずに答えが出せるだろうか？
0412１３２人目の素数さん
2005/09/29(木) 09:07:320413１３２人目の素数さん
2005/09/29(木) 10:27:36直感的にはD3は埋め尽くされそうだが、、、
0414１３２人目の素数さん
2005/09/29(木) 11:22:30俺は(1/π)^2と予想。これを受験数学の範囲で解けと。
0415n厨@携帯
2005/09/29(木) 11:29:20いぇ,僕は今朝はじめてこのｽﾚに投下されているのを見て書き込みましたから別人ですょ｡
僕は算ﾁｬﾚ掲示板で実戦の問題だろうかあるいは釣りだろうかと聞いただけですね｡
0416１３２人目の素数さん
2005/09/29(木) 21:40:32>>344
>>362
もうちょっと初等的にできる。
誰か興味があれば説明しまつ。
0417１３２人目の素数さん
2005/09/29(木) 21:50:50おながいしまつ
0418１３２人目の素数さん
2005/09/29(木) 22:25:49条件を満たすP(p,q)が半円の内部にあれば、Pがｙ軸上の点でなければPをとおってOPに垂直な直線とx軸との交点のx座標がx≦-1または1≦xを満たすんじゃん？
ｙ軸上の点と半円上の点は簡単に条件を満たすっていえる。
0419１３２人目の素数さん
2005/09/29(木) 22:47:48おらおら、おらがきょうみあるから証明せい！
0420１３２人目の素数さん
2005/09/30(金) 01:52:13これなら受験数学の範囲？arcsinとか[x]とかは気にしない。
以下f(x)=1-(2/π)arcsinxとおく。
a∈[0,1]にたいして直線x=aとD3の共通部分にある線分の長さの合計とする。S=∫[0,1]h(x)dx。
x=aとD3の共通部分は[n|sinnx|/π]個のながさ(π/n)f(a)の線分を含み、
[n|sinnx|/π+1]個のながさ(π/n)f(a)の線分の合併にふくまれる。よって
f(a)|sinnx|-π/n≦h(a)≦(π/n)f(a)[nsinnx/π+1]≦f(a)|sinnx|+π/n
これをa:0～1で積分してさらに0≦f(a)|sina|≦1を利用して
∫[0,1]f(x)sinnxdx-π/n≦S≦∫[0,1]f(x)sinnxdx+π/n
f(x)が単調減少であることから1≦k≦[n/π]=mである整数kに対し
∫[(k-1)π,kπ]f(kπ/n)sinnxdx≦∫[(k-1)π,kπ]f(x)sinnxdx≦∫[(k-1)π,kπ]f((k-1)π/n)sinnxdx
f(kπ/n)(2/n)≦∫[(k-1)π,kπ]f(x)sinnxdx≦f((k-1)π/n)(2/n)
∴納k=1,m]f(kπ/n)(2/n)≦∫[0,1]f(x)sinnxdx≦納k=1,m]f((k-1)π/n)(2/n)。
区分求積の原理より
lim[n→∞]納k=1,[n/π]]f(kπ/n)(2/n)
=(2/π)lim[n→∞]納k=1,[n/π]]f(kπ/n)(π/n)
=(2/π)∫[0,1]f(x)dx
=(2/π)^2
同様にlim[n→∞]納k=1,[n/π]]f((k-1)π/n)(2/n)=(2/π)^2。よってはさみうちの原理より
∴lim[n→∞]∫[0,1]f(x)sinnxdx=(2/π)^2。
0421１３２人目の素数さん
2005/09/30(金) 03:14:39球が1個だけのとき
V_1 = (4π/3)a^3 = 4.18879020478639･･･a^3
0422１３２人目の素数さん
2005/09/30(金) 03:15:55球が2個 のとき
2つの球の中心 O_1,O_2 をとおる直線をx軸とする。
O_1=(-a/2,0,0), O_2=(a/2,0,0) とすると、
V_2 = 2π∫[0,a/2] {a^2 -(x+a/2)^2} dx = 2π[(a^2)(x+a/2) -(1/3)(x+a/2)^3](x=0→a/2)}
= (5π/12)a^3 ≒ 1.30899693899575･･･a^3.
0423１３２人目の素数さん
2005/09/30(金) 03:17:48球が3個のとき
[類題]
43 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 02/02/22 00:53
「半径１の３つの球体が互いの中心が各表面にある様に重なりあっている。
球体の共通部分の体積を求めよ。」という問題で、縦か横かどっちに切ったらラクだろうか？
くだらんスレ ver.3.141592653
http://cheese.2ch.net/math/kako/1014/10141/1014191253.html
3つの球の中心を通る平面をxy-面とする。
φ = arccos(a/2r) - π/6 = arctan(√{3 -4(z/a)^2}) -π/6.
3円の交点の相互の距離は b = (√3)√{r^2 -(a/2)^2} -a/2 = (√3)√{(3/4)a^2 -z^2} -a/2.
共通部分の高さzでの断面積は、
S(z) = 3(r^2)(φ-sinφ･cosφ) +(1/4)(√3)b^2
= 3(r^2)φ - (3/2)a√{r^2 -(a/2)^2} +(1/4)(√3)a^2
= (a^2 -z^2)(3･arctan√{3 -4(z/a)^2} -π/2) -(3/2)a√{(3/4)a^2 -z^2} +(1/4)(√3)a^2.
S(0) = {π/2 -(1/2)√3}a^2, S(±√(2/3)) =0.
V_3 = 2∫[0,a√(2/3)] S(z)dz
= a∫[0,a√(2/3)] (3a^2-z^2)(z^2)/{(a^2-z^2)√[(3/4)a^2-z^2]} dz -(9/8)arccos(1/3)(a^3) +(1/4)(√2)a^3
= V_30 - 1.38482934450837･･･a^3 + 0.353553390593274･･･a^3
= (1.7031062891167･･･ - 1.031275953915･･･)a^3
= 0.671830335208･･･a^3.
※ {(√3)a/2 -z)}/{(√3)a/2 +z} =u^2 とおくと、
z=(√3)(a/2)(1-u^2)/(1+u^2), dz= -(2√3)au/(1+u^2)^2 du.
V_30 = a∫[0,a√(2/3)] (3a^2 -z^2)(z^2)/{(a^2 -z^2)√[(3/4)a^2 -z^2]} dt
= (27/4)(a^3)∫[0.1715728752538･･･,1] (1+3u^2)(1+(1/3)u^2)(1-u^2)^2 /{(1+14u^2+u^4)(1+u^2)^3} du
= (a^3)∫[0.1715728752538･･･,1] { 8(1+u^2)/(1+14u^2 +u^4) -(5/4)/(1+u^2) -3/(1+u^2)^2 +3/(1+u^2)^3 } du
= 1.7031062891167･･･a^3.
0424１３２人目の素数さん
2005/09/30(金) 03:21:47球が4個のとき
V_4 ≒ 0.422157･･･a^3.
0425１３２人目の素数さん
2005/09/30(金) 10:24:42a, b を消去すると、以下の問題と同値になる。
「x^2+y^2-cx-dy=0, c^2+d^2=1, 0≦d≦2y を満たす実数 c, d が存在する実数 x, y の条件を求めよ。」
（実は d≦2y は不要）
x≠0 のとき、c を消去した d に関する2次方程式 (x^2+y^2)d^2-2y(x^2+y^2)d+(x^2+y^2)^2-x^2=0 が
0≦d≦2y で解を持つ条件を求めればよい。
f(d)=(x^2+y^2)d^2-2y(x^2+y^2)d+(x^2+y^2)^2-x^2 とおくと f(0)=f(2y)=(x^2+y^2)^2-x^2≧0 が必要。
（以下略）
0426１３２人目の素数さん
2005/09/30(金) 10:25:560427１３２人目の素数さん
2005/09/30(金) 10:39:21とある大学の問題らしいぞ。ネタくさいが
0428１３２人目の素数さん
2005/09/30(金) 10:46:00板違い。
0429１３２人目の素数さん
2005/09/30(金) 10:51:11どこが？
0430１３２人目の素数さん
2005/09/30(金) 11:48:13意味不明。
0431１３２人目の素数さん
2005/09/30(金) 13:25:250432１３２人目の素数さん
2005/09/30(金) 14:11:106^2005を1999で割ったあまり？
1999は素数なので
6^1998≡1(mod1999)
6^2005≡6^7(mod1999)
6^5≡1779(mod1999)から
6^7≡1779*36≡76(mod1999)
∴6^2005を1999で割った余りは76
0433１３２人目の素数さん
2005/09/30(金) 21:22:250434１３２人目の素数さん
2005/09/30(金) 23:53:040435NEC?
2005/10/01(土) 02:18:14（補足）V_30の計算
V_30 = ∫[0,a√(2/3)] (3a^2 -z^2)(z^2)/{(a^2 -z^2)√[(3/4)a^2 -z^2]} dz
= (27/2)(a^3)∫[(√2 -1)^2, 1] (1+3u^2)(1+(1/3)u^2)(1-u^2)^2 /{(1+14u^2+u^4)(1+u^2)^3} du
= (a^3)∫[(√2 -1)^2, 1] { 16(1+u^2)/(1+14u^2 +u^4) -(5/2)/(1+u^2) -6/(1+u^2)^2 +6/(1+u^2)^3 } du
≡ { I - (5/2)J_1 -6J_2 +6J_3 }a^3.
部分分数に分けて、
16(1+u^2)/(1+14u^2+u^4) = 4(2+√3)/(1+(2+√3)^2･u^2) + 4(2-√3)/(1+(2-√3)^2･u^2).
I = 16∫(1+u^2)/(1+14u^2+u^4) du = 4{arctan((2+√3)u) + arctan((2-√3)u)} = 4arctan(4u/(1-u^2)).
J_n ≡∫ {1/(1+u^2)^n} du = {1/(2n-2)}u/(1+u^2)^(n-1) + (2n-3)/(2n-2)}J_(n-1). (←部分積分)
∴ I -(5/2)J_1 -6J_2 + 6J_3 = I -(5/2)J_1 -(3/2)J_2 +3u/[2(1+u^2)^2]}
= I -(13/4)J_1 -3u/[4(1+u^2)] +3u/[2(1+u^2)^2]
= 4arctan(4u/(1-u^2)) -(13/4)arctan(u) -3u/[4(1+u^2)] +3u/[2(1+u^2)^2].
u: (√2-1)^2 → 1, 1+u^2: 6(√2-1)^2 → 2, arctan(u): π/4 - (1/2)arccos(1/3) → π/4 より,
V_30 = { I -(5/2)J_1 -6J_2 +6J_3 }a^3
= {2π -(29/8)arccos(1/3) -(√2)/12}a^3 = 1.70310628911667･･･(a^3)
V_3 = {2π -(19/4)arccos(1/3) +(√2)/6}a^3 = 0.671830335208･･･a^3.
0436１３２人目の素数さん
2005/10/01(土) 03:08:54V_n ∝ n^(-5/3)
乱流のエネルギー･スペクトルを表わす、コルモゴロフの -5/3乗則は、>>346 で説明できる・・・
というワケではあるまいが。。。
0437１３２人目の素数さん
2005/10/01(土) 15:03:08V_4 = {(8/3)π -(27/4)arccos(1/3) +(√2)/4}a^3 = 0.422157733115825･･･a^3.
http://www.sansu.org/bbs2/readlog.cgi?START=25794&END=25867
uchinyan@ネコの住む家 氏による 9月25日(日) 16:02:44 No.25867
0438437
2005/10/01(土) 15:22:31↑訂正、すまそ。
http://www.sansu.org/bbs2/readlog.cgi?START=25825&END=25867
0439１３２人目の素数さん
2005/10/01(土) 15:48:21>>411のアドレス削れば・・・
0440437-438
2005/10/01(土) 18:41:36[25867]の概略
問題の立体を正4面体の2面、3面、4面で切った立体の体積 V2, V3, v を求める。
A, B を中心とする球の共通部分の体積V_1は、V1 = (5π/12)a^3 …… (1)
正四面体ABCDの2面がなす角をcπとすると、
(1)とAB軸のまわりの角度比から、 V2 = V1*(c/2) …… (2)
V3=(1/3)aS'. 球面3角形の面積 S' = (3c-1)πa^2, V3 = {(3c-1)π/3}a^3 …… (3)
正四面体の体積は v = {(√2)/12}a^3 …… (4)
さて、ここでトイレの個室の中(汚い話で申し訳ない)で「う～む」と考えると、次の考えが浮かぶ。
4平面の切断によってVは11個の切片に分かれる*)。中央の正四面体の体積はvであった。
稜に対する切片の体積をVe, 面に対する切片の体積をVf とおくと、
V = v + 6*Ve + 4*Vf = 6*(v + Ve + 2*Vf) -8(v + Vf) +3v = 6*V2 - 8*V3 + 3v
これに (2)～(4) を代入する。
V = {-(27/4)cπ +(8/3)π +(√3)/4}a^3, cπ=arccos(1/3).
なお、V2、V3 は球面上の幾何学の定理・公式を使うと、積分なしでそれこそ算数っぽく、求められます。
もちろん、球面上の幾何学は高校でも習わないので、考え方は算数でも、実際には大学レベルになってしまいますが。
* 一般には15片あるが、本題は頂点が表面に露出しているため、頂点に対する4片はない。
0441423, 435
2005/10/01(土) 20:14:14v = {(√2)/12} a^3,
Ve = {(2/3)π -(43/24)arccos(1/3) + (√2)/12 }a^3 = 0.00677727652206493･･･a^3,
Vf = {arccos(1/3) -π/3 -(√2)/12}a^3 = 0.0659107359464192･･･ a^3.
V_3 = 2(v + 3Ve + 3Vf) = 2v + 2{π -(19/8)arccos(1/3)}a^3 = 0.671830335206422･･･a^3.
きのう >>423, >>435 でゴリゴリ積分してたのが馬鹿だった...
0442１３２人目の素数さん
2005/10/02(日) 20:52:06a、b、ｃ、d 、e、f は次の性質を満たす実数とする。
a^2+b^2=1、c^2+d^2=1,、e^2+f^2=1、b≧0、d≧0、f≧0
このとき、xy平面上の点 （(a+c+e)/3, (b+d+f)/3） が存在する部分の面積を求めよ。
0443１３２人目の素数さん
2005/10/02(日) 20:56:48勘で
x^2+y^2≦1、x^2+y^2≧1/9、(x-2/3)^2+y^2≧1/9、(x+2/3)^2+y^2≧1/9、y≧0
の部分？
0444１３２人目の素数さん
2005/10/03(月) 00:54:02・>>337の領域内を動く点Pと半円上を動く点Q についてPQを1:2に内分する点のとりうる範囲
・A,B,Cがそれぞれ0≦ｔ≦πの任意のtの値をとるときの((cosA+cosB+cosC)/3,(sinA+sinB+sinC)/3)のとりうる範囲
。。。だからどうしたっていわれると困る
0445１３２人目の素数さん
2005/10/03(月) 01:34:57だからどうした？
0446１３２人目の素数さん
2005/10/03(月) 01:49:52各面がp角形, 各頂点にq枚の面が会するとき、二面角をθとすると sin(θ/2)=cos(π/q)/sin(π/p).
正20面体では p=3, q=5, sinθ=2/3 だから,
2R = a･sin(π/q)/{sin(π/p)cos(θ/2)} = a√{(5+√5)/2} = 1.9021130325903･･･a.
>>45
(∂_x -1)^(-1) f(x) = exp(x){∫_[0,x] exp(-x') f(x')dx' +c} らしいので
y(x) = (∂_x -1)^(-2) ０ = (∂_x -1)^(-1) c1･exp(x) = (c1･x+c0)exp(x).
>>59
r=3, R=8
sin(α/2)sin(β/2)sin(γ/2) = r/4R = 3/32.
S = 2R^2･sinα･sinβ･sinγ = 4Rr･cos(α/2)cos(β/2)cos(γ/2)
(cosα,cosβ,cosγ) = (1/4,1/4,7/8) のとき最大値 S=15√15 = 58.0947501931113･･･
(cosα,cosβ,cosγ) = (3/4,3/4,-1/8) のとき最小値 S=21√7 = 55.5607775323564･･･
>>71
>76,78 をノルムで書くと
{(a-c)^2 +(b-d)^2}{(a+c)^2 +(b+d)^2} = {(a^2 -c^2) +(-b^2 +d^2)}^2 + 4(ab-cd)^2 =0.
ベクトルで書くと ラグランジュ
u↑=(a-c, -b+d), v↑=(a+c, b+d), |u|^2|v|^2 = (u･v)^2 + |u×v|^2 =0.
>>81
e^(1-t) = 1/e^(t-1) < 1/t より、
e^{1 -e^(1-x)} < e^{1-(2-x)} = e^(x-1) = {e^(1 -1/x)}^x < x^x.
両辺を e^(e-1)乗して、x=e-1 とOK.
0447１３２人目の素数さん
2005/10/03(月) 01:52:32a_n = ±{(√2+1)^(2n) + (√2-1)^(2n)}/2.
b_n = ±{(√2+1)^(2n) - (√2-1)^(2n)}/(2√2).
(n=0,1,2,･･･)
A.O.Gel'fond(著): 銀林 浩(訳): ｢方程式の整数解｣ 東京図書, 数学新書5 (1960) §4
>>183
(π/2)cos(x) > π/2 -x とか (π/2)sin(x) >x とか使うらしい...
>>256 ,268
[nx -n[x]] = [nx] -n[x] = m とおくと 0≦m<n, x = [x] + (m+{nx})/n
y_i = [x +(i/n)] = [x] + [(m+i+{nx})/n] = [x] + [(m+i)/n]
0≦i≦n-1-m ⇒ y_i = [x],
n-m≦i≦n-1 ⇒ y_i = [x] +1
左辺 = (i=0,n-1) y_i = n[x] +m = [nx].
>>278
不等式への招待２
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/315-324
0448１３２人目の素数さん
2005/10/03(月) 14:15:28詳しく
0449１３２人目の素数さん
2005/10/04(火) 00:07:41勘でっていってんじゃん
0450１３２人目の素数さん
2005/10/04(火) 03:05:20S =(底辺)*(高さ)/2.
2斜辺が 4√15, 底辺が 2√15, 高さが 15 のとき 最大値S=15√15,
2斜辺が 4√7, 底辺が 6√7, 高さが 7 のとき、最小値S=21√7
>>252
三角関数スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1062225260/249-250
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1123801389/31
>>288
{n･log_5(|x|)} = n･log_5(|x|) -[n･log_5(|x|)],
n は自然数
0451１３２人目の素数さん
2005/10/05(水) 03:51:51(解1)
球の最高点をN, 最下点をS, 中心をO,とする。
球面上の円Cはある平面Π上にもある。
Oからこの平面（円の中心）に下ろした垂線が球面と交わる点をHとする。
ON=OH より, ∠ONH=∠OHN,
∴ 直線OHは、Πおよび 問題の平面に 等しい角度で交わる。
Nと問題の円Cを結ぶと楕円柱になる。
OH軸の周りに180°回転しても楕円柱は元通りである。
一方、円Cは問題の平面に平行な円C'に移る。
∴ 円C' は平面上のCの射影と相似である。
(解2)
球の最高点をN, 最下点をS, 中心をO,とする。
球面上の円Cはある平面Π上にもある。
問題の平面を xy平面, これと垂直に z軸をとる。
Π平面の方程式: aξ+bη+c(ζ-2R)+ 2R^2 =0.
(ξηζ) は球面上にあるから ξ^2 +η^2 +ζ(ζ-2R) =0.
N(0,0,2R) と (ξ,η,ζ) を結ぶ直線がxy平面と交わる点(x,y,0)は 比例関係から
x=2Rξ/(ζ-2R), y=2Rη/(ζ-2R)
∴ 4R^2{ ξ^2 +η^2 +ζ(ζ-2R) }/(ζ-2R)^2 -4R{ aξ+bη+c(ζ-2R)+ 2R^2 }/(ζ-2R)
= x^2 +y^2 +4R^2 -2(ax+by +2cR)
= (x-a)^2 +(y-b)^2 -r^2.
ところで、(ξηζ) は球面上にあるから、
aξ+bη+c(ζ-2R)+ 2R^2 =0 ⇔ (x-a)^2 +(y-b)^2 -r^2 =0.
例) >209 のとき、R=2, N(0,0,4), ξ=1,
(x-8)^2 + y^2 -48 =0.
0452451
2005/10/05(水) 04:04:53451 (1)
斜円錐（oblique circular cone）とか呼ぶらしい。2次曲面の1つ。
0453１３２人目の素数さん
2005/10/05(水) 12:12:22詳しく。
＞ Oからこの平面（円の中心）に下ろした垂線が球面と交わる点をHとする。
＞ ON=OH より, ∠ONH=∠OHN,
＞ ∴ 直線OHは、Πおよび 問題の平面に 等しい角度で交わる。
これ意味わからん。HはOからαにおろした垂線の足じゃないの？
だったらOHとαは垂直なんでしょ？つまりHは円の中心？
ONはもとの球の半径でOHはもとの球と円の間の距離だからあきらかに球の半径より
小さいと思うんだけど。
0454451
2005/10/06(木) 00:33:43(解1)
球の最高点をN, 最下点をS, 中心をO,とする。
球面上の円Cはある平面Π上にもある。
Oからこの平面（円の中心）に下ろした垂線の延長線が球面と交わる点をHとする。
ON=OH より, ∠ONH=∠OHN,
∴ 直線OHは、Πおよび 問題の平面に 等しい角度で交わる。 ･････(a)
円CをNHの法平面に投影すれば楕円である。これをEとすると E⊥NH。
補題より、半直線NHはEの中心をとおる。
NH軸の周りに180°回転しても楕円Eは元通り。∴ '斜円錐' も元通り。
(a)より、円Cは問題の平面に平行な円C'に移る。
∴ 円C' は平面上のCの射影と相似である。
〔補題〕半直線NHはEの中心をとおる。
円Cの上端をN',下端をS'とすると、半直線NHは∠N'NS' を2等分する
∠HNN' = (1/2)∠HON' = (1/2)∠HOS' =∠HNS'
∴ NHは∠N'NS' を2等分する。
∴ NH⊥Eだから NHは楕円の主軸の中点をとおる。 (終)
0455454
2005/10/06(木) 01:10:00∴ 半直線NHは、Πおよび 問題の平面に 等しい角度で交わる。 ･････(a)
まだあった...orz. ﾍﾞﾘｨすまそ
0456１３２人目の素数さん
2005/10/06(木) 01:36:39全然わかんないすorz。
平面Πって球上の円Cを通る平面だよね。でHは球の中心Oから平面Πにおろした垂線と球の交点だよね。
ってことはこの直線とΠって直交してるでしょ？この直線と最初の平面、つまりSでの球の接平面ってあきらかに
いっぱんには直交してないとおもうんだけど。どうしてこの２角が等しくなるの？
0457454
2005/10/06(木) 01:55:47半直線NHと問題の平面の交点をPとすると
∠(NH,C) = 90°-∠OHN = 90°-∠ONH = 90°-∠SNP = ∠NPS
みんな私が悪いのよ♪
0458１３２人目の素数さん
2005/10/06(木) 02:25:28なるほど。やっとわかった。どもです。つまりNを頂点、底面を円Cとする斜円錐を延長してできる
の軸を中心にCをくるっと１８０°ひっくりかえすとこの斜円錐は（集合として）不動で（つまりこの操作で安定で）
Cはこの操作の後所与の平面、つまりSでの接平面と平行になってしまうっつーことか。なるほど。すばらすぃ。
0459454-455, 457
2005/10/06(木) 02:33:20どもです。 つまり、斜円錐 = (直)楕円錐
0460１３２人目の素数さん
2005/10/08(土) 15:07:33面積最大の三角形
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1041437063/267-269
0461１３２人目の素数さん
2005/10/08(土) 19:13:19a、b、ｃ、d 、e、f、g、h は次の性質を満たす実数とする。
a^2+b^2=1、c^2+d^2=1、g^2+h^2=1、e^2+f^2=1、b≧0、d≧0、f≧0、h≧0
このとき、xy平面上の点 （(a+c+e+g)/4, (b+d+f+h)/4） が存在する部分の面積を求めよ。
0462１３２人目の素数さん
2005/10/08(土) 19:39:30(1)f(x)の増減表を書け。
(2)99^100と100^99の大小を比較せよ。
0463１３２人目の素数さん
2005/10/08(土) 19:52:240464１３２人目の素数さん
2005/10/09(日) 01:19:05青チャートじゃないんだから、、
せめて(2)を単独で出せよ、それでもすぐにlogx /xにたどり着くけど。
0465１３２人目の素数さん
2005/10/09(日) 01:34:05Ｃ[n,k] = n(n-1)…(n-k+1)/(k!) < (n^k)/(k!) なので、二項定理より、
(1 +1/n)^n = 納k=0,n] Ｃ[n,k] (1/n)^k < 納k=0,n] 1/(k!) < e.
(n+1)^n / {n^(n+1)} = (1/n)(1+1/n)^n < (1/n)e <1. (n≧3)
∴ n^(n+1) < n^(n+1).
>464
たどり着きませんですた。
0466465
2005/10/09(日) 01:43:51∴ (n+1)^n < n^(n+1).
logf(x) =logx /x
両辺微分すると、
f'(x)/f(x) = (1-logx)/x^2
∴f'(x)=(1-logx)f(x)/x^2
一方 x>0 より、
logx/x <0 (x<1)
logx/x >0 (x>1)
であるから
f(x)<1 (x<1)
f(x)>1 (x>1)
増減表は
x 0 1 e
×+++０-
0468１３２人目の素数さん
2005/10/09(日) 23:56:04f(x)=2x+∫[0,a] f(t)dt
f(0)=1
を満たす。定数aの値を求めろ。
0469１３２人目の素数さん
2005/10/10(月) 00:02:310470１３２人目の素数さん
2005/10/10(月) 00:17:23a={√(5) -1}/2
５分かからなかった。合ってるかどうかわからないけど。
0471１３２人目の素数さん
2005/10/10(月) 00:23:08f(0)=1
f(0) = ∫[0,a] f(t)dt =1
f(t)=2t+1
∫[0,a] (2t+1)dt
=a^2 +a =1
a>0より
>>468
という感じで解いたのだが、合ってる？
0472１３２人目の素数さん
2005/10/10(月) 00:59:27宿題は質問スレに出せ！
>>470-471
釣られるなよｗ
0473１３２人目の素数さん
2005/10/10(月) 01:03:17で、答え合ってる？
0474１３２人目の素数さん
2005/10/10(月) 13:59:290475１３２人目の素数さん
2005/10/11(火) 17:39:27おもしろかった。これ自分で作ったの？だとしたらすごいね。
0476１３２人目の素数さん
2005/10/11(火) 17:41:43y=f(x)
をxy平面に図示せよ
0477１３２人目の素数さん
2005/10/11(火) 17:45:58巛 ヽ.
＋ 〒ｰ| イャッホォォォオゥ！！
| |
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0478１３２人目の素数さん
2005/10/11(火) 17:47:25なわけないだろ。
幾何の問題を書きなおしただけ。
0479１３２人目の素数さん
2005/10/11(火) 17:51:10冷たいな・・
0480１３２人目の素数さん
2005/10/11(火) 18:51:280481１３２人目の素数さん
2005/10/11(火) 18:53:02答えだけは駄目だｼﾞｮｰ
0482１３２人目の素数さん
2005/10/11(火) 19:20:560483１３２人目の素数さん
2005/10/11(火) 19:29:490484１３２人目の素数さん
2005/10/11(火) 19:37:24V(r)を求め、rが0<r<1の範囲を動くときのV(r)の最大値とそのときのrの値を求めろ。
0485１３２人目の素数さん
2005/10/11(火) 21:57:21xy平面において領域x^2+y^2≦r^2と(x-1)^2+y^2=1-r^2の共通部分を、x軸の周りに回転させた図形の体積を考えればいい
円x^2+y^2=r^2と円(x-1)^2+y^2=1-r^2の交点は(r^2,±√(r^2-r^4))であるから
V(r)=π∫(0,r^2)(1-r^2-(x-1)^2)dx+π∫(r^2,1)(r^2-x^2)dx=π(-r^4+r^2+1/3)
V(r)=-π(r^2-1/2)^2+7π/12と0<r<1からr=1/√2のときV(r)の最小値7π/12
0486１３２人目の素数さん
2005/10/11(火) 22:15:06V(r)=π∫(1-√(1-r^2),r^2)(1-r^2-(x-1)^2)dx+π∫(r^2,r)(r^2-x^2)dxか。
計算はまたあとで
0487１３２人目の素数さん
2005/10/12(水) 00:32:17ただし求め方も書け
0488１３２人目の素数さん
2005/10/12(水) 02:03:22V(r)=π{-r^4 +2r^3 /3 +r^2 +(2/3)(1-r^2)^(3/2) -2/3}
となればおｋ
0489１３２人目の素数さん
2005/10/12(水) 03:36:47∫(1-(x^2)+(x^4)-(x^6)+(x^8)-…+(-(x^2))^(n-1)) …①
=∫[0,1] (1-(-1)^n)dx/(1+x^2)
=∫[0,1] 1/(1+x^2) -∫[0,1] ((-x)^n)dx/(1+x^2)
(積分計算打つのめんどいので略します)
=π/4
一方、((-1)^(n-1))/(2n-1) = (-1)^(n-1)∫[0,1] x^(2(n-1))dx
であるから、n=1,2,3,・・・・n で、
①∫(1-(x^2)+(x^4)-(x^6)+(x^8)-…+(-(x^2))^(n-1))
=1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+(1/9)-(1/11)+…+((-1)^(n-1))/(2n-1)
=π/4
となるので
π=4(1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+(1/9)-(1/11)+…+((-1)^(n-1))/(2n-1))≡f(n)
n項までの和をf(n)と表記するとf(k)の少数第4位が、f(k-1),f(k=1)の少数第4位と等しくなるようなkを見つけ、
そのkにおける少数第4位をn=∞項までの和の少数第4位として採用する。
f(1)=4 f(2)=2.6666 f(3)=3.4666 f(4)=2.8952 ・・・略 orz
π = 3.14159265 (∵pi = http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=pi&lr= )(死
∴πの少数第4位は5
0491１３２人目の素数さん
2005/10/12(水) 05:41:570492489
2005/10/12(水) 05:45:47少数第4位まで求めよか・・・
問題も読み間違えた上に解けなかった俺は馬鹿だな・・ｗ
0493１３２人目の素数さん
2005/10/12(水) 16:16:58それ作ってnに少数第5位くらいまで求めれる数代入するとかじゃきついか？
円に内接する正ｎ角形が出来る時、円の中心と正n角形の隣り合う二つの角で作れる二等辺三角形の中心からの角はn/2π
円の半径を1、正n角形の1辺をaとおくと、a=√{2-2cos(n/2π)}
円周率は、円の直径に対する円周の割合だから
π＝lim(n→∞) (n/2)√{2-2cos(n/2π)}＝3.14159...
・・・代入ﾏﾝﾄﾞｸｾ
面積でやったほうが簡単かも
0494１３２人目の素数さん
2005/10/12(水) 16:37:420495GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/10/12(水) 22:55:490496１３２人目の素数さん
2005/10/12(水) 23:22:030497１３２人目の素数さん
2005/10/12(水) 23:52:05明らかか？
0498１３２人目の素数さん
2005/10/13(木) 00:18:26(円Ｐが円Ｏの内部にあることは示す必要ありません。)
0499１３２人目の素数さん
2005/10/13(木) 00:31:05問題の意味がようわからんのだけど。ABの垂直２等分線と円Oの交点のうちのどっちかCを
作図してABCの外接円を作図すればいいのかな？
0500499
2005/10/13(木) 00:31:450501１３２人目の素数さん
2005/10/13(木) 00:41:36Oの中心をC、Oの半径をrとして
点PがAを通りOと外接する円の中心⇔OP+AP=1－(1)
点PがA,Bを通る円の中心⇔AP=BP－(2)
だから楕円(1)と直線(2)の交点をもとめてそれを作図する方法をあたえよ？って問題？
0502１３２人目の素数さん
2005/10/13(木) 01:24:47そうか。方程式たててやらなくてもいいんだな。
まずどこでもいいから円上に直径NSをとる。Sを端点とする半直線SA、SB上にそれぞれ
SA･SA’=SN^2、SB･SB’=SN^2となるA’、B’を作図する。NにおけるOの接線lを作図する。
つぎにA’、B’の垂直２等分線とlの交点C’を作図する。Sを端点とする半直線SC’上に
SC･SC’=SN^2となるCを作図する。最後にABCの外接円を作図する。
これで終了と。
0503502
2005/10/13(木) 01:29:570504１３２人目の素数さん
2005/10/13(木) 02:23:55A’、B’の垂直２等分線とlの交点Pを作図する。Pを中心としA’、B’を通る円ΓとA’、B’の垂直２等分線mを
作図しΓとmの交点をU、Vとする。ただしlにかんしてUの方がA’、B’と同じ側にあるとする。
Vを端点とする半直線A’V、B’V上にA’’、B’’をA’V･A’’V=UV^2、B’V･B’’V=UV^2となる点を作図する。
直線A’’B’’の垂直２等分線とΓの交点のうちの一方をC’’とする。
Vを端点とする半直線C’’V上にC’V･C’’V=UV^2となる点を作図する。
以下>>502の後半につなげる。
今度こそきっと桶。
0505１３２人目の素数さん
2005/10/13(木) 15:43:44√2 ＜ e^(1/e)
0506１３２人目の素数さん
2005/10/13(木) 15:50:14宿題は質問スレに行け！
0507１３２人目の素数さん
2005/10/13(木) 16:27:39f(x)=(1/x)*ln(x)の増減を調べる。
0508502
2005/10/13(木) 19:06:05Step1)OをCの中心とする。Oに関してのAの対称点を作図しA’とする。C上の点JをOJ⊥OAと作図する。
直線OA上にJA’⊥JKとなるKを作図する。
Step2)OAの中点Lを作図する。さらにKLの中点Mを作図する。Mを中心、半径MK=MLの円C2を作図する。
CとC2の交点の一方をNとする。
Step3)直線KB上に∠KNB+∠KNB'=πとなる点B’を作図する。
Step4)Oを中心、半径がCの半径の半分の円C2を作図する。OB’の垂直２等分線とC2の交点の一方をPとし
OPを2:1に外分する点をD’とする。
Step5)直線KD’上に∠KND+∠KND’=πとなる点を作図する。
Step6)△ABCの外接円を作図する。←これが答え。
円－円対応の理論しってるひとにはこれが答えになることはわかる筈･･･あってんだろなコレ？･･･今度こそ？？
0509１３２人目の素数さん
2005/10/13(木) 19:22:25確か東大で過去に
「円周率は3.15より小さいことを示せ」みたいなのが出てた気がする
劣化し杉
0510１３２人目の素数さん
2005/10/13(木) 21:58:320511508ｻﾝ
2005/10/13(木) 23:30:460512１３２人目の素数さん
2005/10/14(金) 23:55:23断面の面積の最大値を求めよ。
0513１３２人目の素数さん
2005/10/15(土) 03:50:55x=e^t >0 とおくと e^t = e･e^(t-1) > e･t,
f(x) = log(x) /x = t/(e^t) ≦ 1/e =f(e).
x^(1/x) ≦ e^(1/e) ≒ 1.44466786100977･･･
0514１３２人目の素数さん
2005/10/15(土) 16:19:070515１３２人目の素数さん
2005/10/15(土) 16:35:290516１３２人目の素数さん
2005/10/16(日) 01:21:47ただし陥没乳頭
0517１３２人目の素数さん
2005/10/16(日) 01:51:39ある時K子の乳輪の外に接したところに毛が生えてきた
その後次々と乳輪の外側と一つ前に生えた毛と同時に接するところに毛が生えていった
毛の直径を計ると0.3mmだった
K子の乳輪を毛が埋め尽くした時、毛は何本生えているか
0518１３２人目の素数さん
2005/10/16(日) 02:20:170519１３２人目の素数さん
2005/10/16(日) 03:00:07↓いいスレでつよ...
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1128697145/
0520１３２人目の素数さん
2005/10/16(日) 11:42:330521１３２人目の素数さん
2005/10/16(日) 23:19:42二つの毛の中心と乳輪の中心で三角形を作って
乳輪の中心からの角度を360から割ってガウスつけりゃいいんか
0522１３２人目の素数さん
2005/10/17(月) 20:53:450523１３２人目の素数さん
2005/10/17(月) 21:00:440524１３２人目の素数さん
2005/10/17(月) 21:03:32サンクス
0525１３２人目の素数さん
2005/10/17(月) 21:05:230526１３２人目の素数さん
2005/10/17(月) 21:06:470527１３２人目の素数さん
2005/10/17(月) 21:10:000528１３２人目の素数さん
2005/10/17(月) 21:12:500529１３２人目の素数さん
2005/10/17(月) 21:15:04=cos(-θ)+isin(-θ)
=cosθ-isinθ
z+z^(-1)
=2cosθ
0530１３２人目の素数さん
2005/10/17(月) 22:02:41w=(1+z)^2 /2
について考える。
(1)Im[w]がとりうる値の範囲を求めよ。
(2)wが複素数平面上に描く曲線の長さを求めよ。
0531１３２人目の素数さん
2005/10/18(火) 01:40:10z=e^(iθ) とおくと、1+z = 2cos(θ/2)e^(iθ/2),
arg(w) = 2arg(1+z) = θ = arg(z) だから, w = |w|z,
|w| = (1+z)(1+z~)/2 = 1 +cosθ.
これは心臓形（cardioid）の極座標表示である。
w=u+iv とおくと u^2 +v^2 -u = |w|^2 -u = |w|.
デカルト表示: (u^2 +v^2 -u)^2 = u^2 +v^2.
| Im[w] | = |v| ≦ (3/4)√3.
0532１３２人目の素数さん
2005/10/18(火) 17:47:100533531
2005/10/18(火) 23:00:03(1) w = u+iv = (1+cosθ)z より、u=(1+cosθ)cosθ, v=(1+cosθ)sinθ.
v^2 = (1+c)^3･(1-c) =(1/3)(1+c)^3･(3-3c) ≦ (1/3){(1+1+1+3)/4}^4 =27/16. (←相加･相乗平均)
|v| ≦ (3/4)√3, 等号は cosθ=1/2, u=3/4 のとき.
蛇足だが、u=(1+c)c=(1/2 +c)^2 -1/4, -1/4≦u≦2, 等号はcosθ=-1/2, 1のとき.
(2) z=e^(iθ) だから dz=izdθ, |dz|=dθ.
w=(1+z)^2 /2 だから dw = (1+z)dz, |dw| = |1+z|･|dz|
また、|1+z| = √(2+2cosθ) = 2|cos(θ/2)|.
∴ ∮|dw| = 2∫[-π,π] cos(θ/2)dθ = 2［ 2sin(θ/2) ］(θ:-π→π) = 8.
0534１３２人目の素数さん
2005/10/19(水) 14:53:27このアリが、次のような規則に従って1メートル離れた二つの点A,Bを移動する。
規則は次の通りである。
nを1以上の整数とする。
線分ABをn+1等分し、分割する点をC(1)、C(2)、C(3)、…、C(n)とする。
アリは点Aを出発した後、点列Cをランダムな順番で全て回り、最後に点Bへ移動する。
このとき、アリの移動距離の期待値をnを用いて表わせ。
0535１３２人目の素数さん
2005/10/19(水) 19:10:21x(i) を並び替えて得られる数列 y(i) を考える。
Σ[k=1,n] x(k)y(k)
を最小にするような数列 y(i) は x(i) を逆順に並び替えた物であることを示せ。
0536１３２人目の素数さん
2005/10/19(水) 19:51:510537１３２人目の素数さん
2005/10/20(木) 02:48:12背理法による。
∃(i,j): {x(i)-x(j)}{y(i)-y(j)}>0 だったとすると、
Σ[k=1,n]x(k)y(k) = 納k≠i,j]x(k)y(k) + x(i)y(i) + x(j)y(j)
> 納k≠i,j]x(k)y(k) + x(i)y(j) + x(j)y(i) となり、最小性と矛盾する。(終)
>536
へぇへぇ求めますた。
f(x)の原始函数は F(x)=(3/2)sin(2x) +7sin(x).
f(x) = 6cos(x)^2 +7cos(x) -3 ={3cos(x)-1}{2cos(x)+3}
a = arccos(1/3) とおくと、(a-x)f(x)≧0, sin(a)=(2/3)√2.
∴ 与式 = ∫[0,a] f(x)dx - ∫[a,π] f(x)dx = 2F(a) - F(0) - F(π) = 3sin(2a) +14sin(a)
= 2sin(a){3cos(a)+7} = (32/3)√2.
0538１３２人目の素数さん
2005/10/20(木) 07:26:46あのな、宿題は質問スレに書けや、ビチクソがぁ！
>>537
いいかい、屑を甘やかしてたら、また同じことをするぞ！
無視しろや、このビチクソがぁ！！
0539１３２人目の素数さん
2005/10/20(木) 17:46:270540１３２人目の素数さん
2005/10/20(木) 19:59:350541１３２人目の素数さん
2005/10/20(木) 20:03:55死ね
0542１３２人目の素数さん
2005/10/20(木) 23:37:42Σ[k=1,n] x(k)y(k)
を最大にするような数列y(i)は x(i)自身であることを示せ。
0544１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 01:24:15をそれぞれ一つずつ掛け合わせて足したとき、和が
最大になるのは最小の物同士、小さい方から2番目同士、、の順に足したとき
最小になるのは片方を逆順で足したときであることを示せ、
ってのが既に過去問にあったかと、、
0545１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 02:21:58{y_k} を 「{x_k}を並び替えて得られる数列」 にする必要はない罠．．．
0546１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 09:46:29f(n) は n を超えない全ての自然数の内、約数の個数が最大になるような
自然数の中で最小のものである。
例) f(1)=1 , f(2)=2 , f(3)=2 , f(4)=4 , f(5)=4 , f(6)=6 , f(7)=6 , f(8)=6
f(n) が 5 の倍数になるような n をひとつ求めよ。
そのような n が存在しない場合は理由を示せ。
0547１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 11:00:00６０≦ｎ。
0548１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 16:31:191) x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz
2) x^3 + y^3 + z^3 + 3xyz
0549１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 19:19:36基本対称式を使って
u = x+y+z
v = xy+yz+zx
w = xyz
1) (与式) = u^3 - 3uv = u(u^2-3v)
2) (与式) = u^3 - 3uv + 6w
１は因数分解できた。
２はできなそう。（未完）
0550１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 20:51:12明らかに f(x,y,z) が 因数分解できるならば、xの式 f(x,1,1) も因数分解可能である。
以下、f(x,y,z) が因数分解可能であるとして背理法を用いる。
背理法の仮定より、f(x,1,1) = x^3 + 3x + 2 が因数分解可能である。
明らかに上式はxについての1次式×2次式の形に因数分解することができる。
（ ただし、２次式が既約である保証はない ）
この事から、a,b,c,d,eを整数として
x^3 + 3x + 2 = ( ax + b )( cx^2 + dx + e )
となることが分かる。従って
ac=1
be=2
が成立する。 a=c=1としても一般性を失わないので上の式は
x^3 + 3x + 2 = ( x + b )( x^2 + dx + e )
be=2
と改めることができる。b,eが整数であることから、
b=±1, ±2 となる。
背理法の仮定と因数定理より
f(x,1,1)=x^3 + 3x + 2=0 の解のうち少なくとも一つは x=±1, ±2 である。
しかし、実際にはこのような事は成立しない。
以上より背理法の仮定が成立しないことが分かる。
すなわち、f(x,y,z)は因数分解できない。
Q.E.D.
0551550
2005/10/21(金) 20:59:323) x^4 + y^4 + z^4 + w^4 - 4xyzw
4) x^4 + y^4 + z^4 + w^4 + 4xyzw
解答は持ってないけど多分>>550と同じような形でできると思う。
でも悲しいかな、因数定理が使えない……
0552１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 22:10:580553１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 22:43:15性質：その自然数をうまくn個に分割する。分割したn個の数をいくつか使い適当に+,-でつなげると1からΣ[k=1,n]3^(nｰ1)までのすべての自然数をつくれる。
(4ならば1と3に分割することで1、3-1、3、4となる)
0554１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 23:23:08nが3以上の自然数であるとき、上式に解がないことを示せ。
0555１３２人目の素数さん
2005/10/21(金) 23:46:27反例
x=y=z=0
0556１３２人目の素数さん
2005/10/22(土) 01:28:360557１３２人目の素数さん
2005/10/22(土) 09:00:000558１３２人目の素数さん
2005/10/22(土) 09:17:18お前のことだ！
0559１３２人目の素数さん
2005/10/22(土) 09:18:55ｘ＾2－2ｙ＾2 = (x+y√2)(x-y√2)
いい子だから、背伸びしないで 算チャレでもやってろ！
0560GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/10/22(土) 10:10:060561１３２人目の素数さん
2005/10/22(土) 10:13:46計算用紙が真っ黒になるまで、算チャレでもやってろ！
0562GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/10/22(土) 10:15:370563１３２人目の素数さん
2005/10/22(土) 11:05:550564１３２人目の素数さん
2005/10/22(土) 15:25:10そういうのは「因数分解」とは言わない。
単に「因数分解」とあれば有理数の範囲ですのが定説。
どちらがおこちゃまだかｗ
0565１３２人目の素数さん
2005/10/22(土) 15:25:500566１３２人目の素数さん
2005/10/22(土) 15:56:21あぁ、確かに言われてみればそうだが、一種の揚げ足取りだな……
>>550
整数係数の範囲で因数分解するっていう意味だと思うが、
解答は間違い。
＞ 明らかに f(x,y,z) が 因数分解できるならば、xの式 f(x,1,1) も因数分解可能である。
ここが間違ってるよ。
0567ピンキー
2005/10/22(土) 18:28:390568１３２人目の素数さん
2005/10/22(土) 20:31:23世俗と縁を切ることからはじめよう！
まずは欲を捨てることだ！
貯金をおろして私に差し出しなさい。
君が数学が得意になるために、代わりに処分してしんぜよう！
0569１３２人目の素数さん
2005/10/22(土) 20:54:45なりますよ。上手になったらＵＣＬＡ バークレーにゆくと、かなりいい
先生たちがいます。
0570１３２人目の素数さん
2005/10/22(土) 20:58:18なにそのライフスペース。
0571GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/10/22(土) 20:59:420572１３２人目の素数さん
2005/10/22(土) 21:12:19あー、あーあー、聞こえますか？
10^nの形でおながいします
0573GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/10/22(土) 21:14:000574１３２人目の素数さん
2005/10/22(土) 21:28:51おまえが言うなよｗ
0575１３２人目の素数さん
2005/10/23(日) 13:11:37「関数 ｆ(x）が、２つの区間 (a，b) 及び [b，c) で微分可能のとき、
区間 (a，c) で微分可能である。」
0576１３２人目の素数さん
2005/10/23(日) 13:40:370577１３２人目の素数さん
2005/10/23(日) 13:46:29でも成立しないよ
0578１３２人目の素数さん
2005/10/23(日) 19:06:20宿題は質問スレに池！
>>577
釣られるなよ！ 命いくつあっても足りないぞ！
0579１３２人目の素数さん
2005/10/23(日) 22:49:323進数で考える。
題意より N =納k=1,n] 3^(k-1)
0≦m≦N ⇒ N-m =納k=1,n] c_k 3^(k-1), c_k は (0,1,2)の一つ. ←3進表示
∴ m = 納k=1,n] (1-c_k) 3^(k-1), 1-c_k は (-1,0,1)の一つ.
0580１３２人目の素数さん
2005/10/23(日) 23:44:38何で2をあらわすときに3を使って良いの？
使っていいのは1,4,13…じゃないの？
0581１３２人目の素数さん
2005/10/24(月) 02:26:17ﾖｺﾚｽするとたとえば40=1+3+9+27と分割すると1～40までの数を
この４つの加減であらわせるって意味だよ。>>553の問題もそのような“分け方”がとれる
ことをしめせって言ってる。
0582１３２人目の素数さん
2005/10/24(月) 02:49:21そういうことか
分かりにくい表現だなあ、、
0583１３２人目の素数さん
2005/10/24(月) 03:04:00１～３１グラムを１グラム刻みで天秤で測れるようにするには最低何個分同を用意する必要があるか？
みたいな形で出題して１、２、４、８、１６の５個ってひっかける香具師。
実は１、３、９、２７の４つで１～４０まで測れる。
0584１３２人目の素数さん
2005/10/24(月) 12:56:00(1) 計算して示せ。
(2) 組合せ論的解釈により示せ。
ただし、C[n ,r] は二項係数である。
0585GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/10/24(月) 13:00:430586１３２人目の素数さん
2005/10/24(月) 13:10:33何かの試行を設定して、その組合せの数を２通りの方法で求めることによって
等式を証明することを言うのではありませぬか？
0587１３２人目の素数さん
2005/10/24(月) 22:51:40C[n,k-1]はn個の中から(k-1)個選ぶ組み合わせだから・・・
等と解釈しろってことなのかなー
0588１３２人目の素数さん
2005/10/24(月) 23:08:240589１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 14:11:08任意の正整数nに対して
∫_[0,1] (2x-1)・{f(x)}^n dx = 0
が成り立つための、
a,bの満たすべき必要十分条件を求めよ
0590１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 16:46:14だれか (1) でもいいから、解ける猛者はおらぬか？
0591１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 16:47:240592１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 18:20:02∫[0,1] ∫[0,1] |f(x)+f(y)| dxdy < ∫[0,1] |f(x)| dx
を満たすf(x)をひとつ求めよ。
0593１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 18:39:340594１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 18:53:340595１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 18:57:230596１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 18:59:590597１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 19:07:23(１)BP：PE、CP：PDを求めよ。
(２)AP：PQを求めよ。
解き方、答えが分からないので教えてください。
0598１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 19:12:37死ね
0599GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/10/25(火) 19:14:510600１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 19:43:26が 5 以上の素数で割り切れない最大の n を求めよ。
Σ[k=1,n] k^2
が 5 以上の素数で割り切れない最大の n を求めよ。
0601１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 19:53:35Σ[k=1,n] k
が 5 以上の素数で割り切れない最大の n を求めよ。
Σ[k=1,n] k^2
が 7 以上の素数で割り切れない最大の n を求めよ。
0602１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 19:56:40pの自然数倍とqの自然数倍の和で表せない最大の自然数を求めよ
0603１３２人目の素数さん
2005/10/25(火) 21:25:000604カタラン(偽)
2005/10/26(水) 04:32:12n(n+1)/2 が5以上の素数を因数に含まないので 2^a･3^b の形である。
n と n+1 の公約数は1しかないので、 一方が2^a, 他方が3^b となる。
aが奇数のとき 2^a≡(-1)^a =-1 (mod 3)
∴ 3^b-2^a=1,または 4^c-3^b=1 の形になる。
u-v=1 に限れば、u^b-v^a=1 の解は 3^2-2^3=1 だけ。(Le Veque,1952)
（数セミ1999年6月号に、H.B.Yuによる初等的証明がある。）
よって n=8
カタラン予想
http://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html
0605１３２人目の素数さん
2005/10/26(水) 15:02:27a=-1
0606１３２人目の素数さん
2005/10/26(水) 20:14:18pq？
0607１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 12:18:07P(|X-μ|≧kσ)≦1/k^2を示せ。
0608１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 12:19:23P(X≦ｘ)=F(X)=∫[0,x]f(x)dx μ=∫[0,∞]xf(x)dx σ^2=∫[0,∞](x-μ)^2f(x)dxとするとき
P(|X-μ|≧kσ)≦1/k^2を示せ。
0609１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 12:20:59ただし全ての実数に於いてf(x)≧0とする。
0610１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 12:34:52後半御願い
0611１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 15:54:55大手予備校などの問題作成委員が見ている。
このスレは即刻やめにしたほうが良い。
0612１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 16:22:120613１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 16:53:330614１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 17:26:14オリジナルで興味深く知識ではなくどちらかと言うと思考を重んじた
問題をまるで東大入試問題を装ったかの様で、その実、受験問題の
くだらなさを露呈させるかの様に出題していく、塾がいかにくだらな
く数学ではないと言う事を示す様なそんなスレです。
難易度なんか問題ではありません。実際にぶつかる数学の問題はほとんど
がどっかに正解があったり、先生がいつも教えてくれる様な物ではないか
らです。
形だけ高校生程度の知識で解けるまるで東大入試問題の様ではありますが、
その実、「数学」を考えさせるそんなスレです。
0615１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 18:59:01然り
0616１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 19:10:43xが2≦x≦3の範囲を動くとき、tanθの取り得る値の範囲を求めよ。
0617１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 21:00:01c^2+(1-xc)^2-1=0.
c((1+x^2)c-2x)=0.
c=0,c=2x/(1+x^2).
s=1,s=(1-x^2)/(1+x^2).
t=1/0,t=(1-x^2)/2x.
0618１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 21:01:19・任意の点で連続
・稠密な点で微分不可能
0619１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 21:31:420620１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 21:38:43返答ありがとうございます。
フラクタルに関連した問題を考えたいのですが、やはり図形的な問題でなければ高校生(東大受験生なら知っているかもしれませんが)には難しいでしょうか？
例えば、さっきの問いを受験問題風にする場合、どうするべきでしょうか？
長文、駄文ｽﾏｿ
0621１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 21:39:17Javaのプログラミング演習のときにグラフ書いた
0622１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 21:40:47コッホ曲線って相場が決まってるだろ
東大後期には別なのも出たことあるんだっけ？
0623１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 21:50:29どっかの高校入試にも出たらしいですね。どんな問題か知りませんが、ﾁｮｯﾄ意外。
東大でも他はないのではないでしょうか？候補は…ﾜｶﾝﾈφ(.. ) ド・ラーム関数とか？
0624１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 22:02:35この関数をフーリエ変換してください。凹凸は上下に+/-１．
0625１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 22:08:40> 分子が偶数の有理数ではうえに凸
おーい、誰かこの池沼の相手をしてやれや！
0626１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 23:04:06はい意味不明
0627１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 23:19:390628１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 23:23:01x->0 x=R-Q
x->-1 x=(2n+1)/(2m)
n,m=Z
0629１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 23:30:12それは高校生には解けない
0630１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 23:36:19どちらかが無理数であることなら証明できるけど
0631１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 23:41:570632１３２人目の素数さん
2005/10/27(木) 23:43:120633１３２人目の素数さん
2005/10/28(金) 00:47:45解と係数の関係を使う。
(x-e)(x-π)=0なる方程式を考える。
e,πの超越性より、明らかにe+π、eπのどちらかは無理数。
0634１３２人目の素数さん
2005/10/28(金) 00:52:52それで示せるなら解と係数の関係など使わなくても出来るだろ
0635１３２人目の素数さん
2005/10/28(金) 01:14:360636１３２人目の素数さん
2005/10/28(金) 01:17:32質問は質問スレに行け！
0637１３２人目の素数さん
2005/10/28(金) 01:19:350638１３２人目の素数さん
2005/10/28(金) 01:26:380639１３２人目の素数さん
2005/10/28(金) 07:50:56誰か解説ｷﾎﾞﾝﾇ
0640１３２人目の素数さん
2005/10/28(金) 21:48:540641１３２人目の素数さん
2005/10/28(金) 21:59:27次の問題どうぞ。
↓↓↓↓↓↓↓
0642１３２人目の素数さん
2005/10/28(金) 22:10:03>>636
0643１３２人目の素数さん
2005/10/29(土) 04:49:36a<0 ⇒ |x-a|=(-a)+x, I(a)=(-a)∫[0,1]e^(-x)dx +I(0) > I(0).
a>1 ⇒ |x-a|=(a-1)+(1-x), I(a)=(a-1)∫[0,1]e^(-x)dx +I(1) > I(1).
0<a<1 ⇒ I(a) = (a-1) + (a-2)/e +2e^(-a)
0644１３２人目の素数さん
2005/10/29(土) 18:57:46sinAsinBsinC ≦ k ABC
が成り立つような最小のkを求めよ。
ただし、ABCは△ABCの面積である。
0645１３２人目の素数さん
2005/10/29(土) 19:14:14そのような k は存在しない。これを背理法で示す。
仮にそのような k があったとすると、
任意の △ABC に対して
sin A sin B sin C ≦ k ABC ……(1)
が成り立つから、特にいま
直角二等辺三角形 ABC であって
AB = AC = (1/2k)
輸 = 90°
なるようなものに対しても、
(1) が成り立たなければならない。
しかし、この △ABC において
sin A sin B sin C = sin 90°sin 45°sin 45°= 1/2
また
k ABC = k × 1/2×AB×AC = 1/4
ゆえに、(1) は
1/2 ≦ 1/4
という式であって、これが成り立つのは不合理である。
すなわち題意の k があったとする仮定は不合理で、
したがってそのような k は存在しない。
0646１３２人目の素数さん
2005/10/29(土) 19:27:37すまん、なんか条件が抜けてたらしい
0647１３２人目の素数さん
2005/10/29(土) 19:29:13そうしたら、AB = AC = √(1/2k) っていうとり方は容易にできないからな
0648644,646,647
2005/10/29(土) 19:31:58sinAsinBsinC ≦ k ∠A∠B∠C
の間違いだったorz
でも、これじゃ簡単すぎルポ
0649１３２人目の素数さん
2005/10/29(土) 19:41:260650１３２人目の素数さん
2005/10/29(土) 19:58:51a=1-ln((1+e)/2) ≒ 0.379885493041722･･･ のとき
最小値 1-{(1+e)/e}log{(1+e)/2} ≒ 0.151758114759607･･･
>644
凡例： 面積が (3/8k)√3 より大きい三角形
(略証) sin は 区間(0,π) で上に凸、 3^5=243<256=2^8 だから、
左辺 ≦ {[sin(A)+sin(B)+sin(C)]/3}^3 ≦ sin[(A+B+C)/3]^3 = sin(π/3)^3 = (3/8)√3.
面積が (3/8k)√3 より大きい三角形ABC をとれば不成立。
0651１３２人目の素数さん
2005/10/29(土) 20:16:11f(x) ≡ log{sin(x)/x} とおく。
f "(x) = -1/sin(x)^2 +1/x^2 < 0 (上に凸)より、
f(A) + f(B) + f(C) ≦ 3f((A+B＋C)/3) = 3f(π/3) = 3log{(3√3)/2π}.
sin(A)sin(B)sin(C)/(∠A∠B∠C) ≦ {(3√3)/2π}^3 ≡k.
等号成立は正3角形のとき。
不等式スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/458
0652１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 12:49:55全区間で無限回数微分可能
常に下に凸
定義域、値域ともに[-∞,∞]
0653１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 12:53:16全区間で無限回数微分可能
常に下に凸
定義域、値域ともに[-∞,∞]
漸近線が存在しない
0654１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 14:08:40恐らく、漸近線が存在しないっていう条件は
f(x)=e^x - x
っていうのを避けるための表現だろうな。
ところで、f(x)=e^xの漸近線って、e^xそれ自体も含むんだっけ？
後は、e^(2x) （x->-∞） とかさ、そういうの
0655１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 15:05:340656１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 15:07:46ゆとり教育ワロス！
さらしあげ
0657１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 17:53:44>>653
恐らく、漸近線が存在しないっていう条件は
f(x)=e^x - x
っていうのを避けるための表現だろうな。
ところで、f(x)=e^xの漸近線って、e^xそれ自体も含むんだっけ？
後は、e^(2x) （x->-∞） とかさ、そういうの
0658１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 17:54:500659１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 18:05:12ゆとり脳でスカスカになったスポンジ野郎でも数学をするのですか？
0660１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 18:31:55例えば、x軸はy=0やy=(e^x)sinxなどの漸近線かって言われると
定義によるとしか言えないよな。
0661１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 18:34:320662１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 18:40:58何も知らないんだね
0663１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 19:19:49もう喋らないほうがいいと思うよ。
引き篭もってないで、岩波の数学辞典でも読んできたら？
0664１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 20:37:490665１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 20:40:38本質的でもないだろうに
0666１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 20:54:57ある曲線が、原点から無限に遠ざかるにつれて、
限りなく近づいてはいくが、決して交わらないし、接しもしない直線
0667１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 21:04:10∫|f-g|dt=0 f=g a.e.
0668１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 21:05:070669１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 21:12:570670１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 21:14:290671１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 21:30:28定義しやすいが性質が弱い。
曲線までの距離が単調減少してこそ漸近線。
0672１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 21:40:07「直線y=0は曲線y=(e^x)sinxの漸近線である。」
このアンケートは成績に反映されることはありません。
0673１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 22:22:11岩波数学辞典の曲線の章の曲線の形状の項(87g)にのってる定義にしたがえば
漸近線ぽいね。
――
Cが無限分岐C0をもつ、たとえばC0がy=f(x)であたえられかつxの変域が[a,∞)の形
になっているとき、(t,f(t))における接線がt→∞で極限の位置をもつときその位置を
漸近線とよぶ。
――
極限の位置って定義がないけどたぶん曲線をP^2の元とみなしたときの極限という
意味だろう。y=f(x)の形の曲線の接線ならy=f’(t)x-f’(t)t+f(t)だから
t→∞のときf’(t)も-f’(t)t+f(t)もある値に収束するときその極限を漸近線とよぶという
定義にみえる。だとすると>>672の例はf’(t)=e^t(sint+cost)で(-∞,0]で定義される分岐で
y=e^t(sint+cost)x-te^t(sint+cost)+e^tsintはt→∞でy=0x+0に収束する。
0674673
2005/10/31(月) 22:27:490675１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 22:56:28条件
x-y平面上に面積S以上の三角形をどのように描いても
その三角形の内部（周を含む）に格子点が存在する。
0676１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 22:59:07岩波持ってないから質問するけど
漸近線って曲線を許すの？許さないの？
0677１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:00:000678675
2005/10/31(月) 23:00:16ごめん、なし
0679１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:00:42そんなの存在する？どんなにおおきなSをとっても面積Sで内部にも周にも格子点を
もたない三角形がとれるような気がする。底辺4Sで高さ1/2で内部に格子点もたないように
三角形作れるような･･･
0681１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:04:46ｺﾞﾒｿ
勘違いしてた。
0682１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:05:38お前>>654だな。
0683673
2005/10/31(月) 23:05:44いえないけど普通に考えてそういう意味だとおもう。すくなくとも数学辞典の定義では
無限回交叉するとかしないとかは関係ないみたい。
0684675
2005/10/31(月) 23:08:24x-y平面上に三角形をおく。
この三角形は、どのように平行移動しても、回転しても必ずx-y平面上の格子点を含む。
三角形の面積Sの範囲を求めよ。
0685１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:09:20thx
>>682
なんか、あったの？
0686１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:10:000687１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:11:20ってか岩波数学辞典の定義ってかなり分かりにくいな
何だこれ
0688673
2005/10/31(月) 23:15:14接線の傾きも定数項もt→∞とかt→-∞で収束するときに漸近線とよぶって意味だろ。
だからy=ax+b+f(x)でlim[t→∞]f(t)=0、lim[t→∞]f’(t)=0の形のときに
y=ax+bを(t→∞における)漸近線と呼ぼうという定義だと思う。
0689673
2005/10/31(月) 23:21:18なにがいいたいの？こんな例が漸近線だけどf’(t)→∞じゃないぞっていいたいの？
んなこといわれてもおれが数学辞典の定義かいたわけじゃないからしらねーよ。
そういうのは漸近線ってよばないんだろ？数学辞典の定義によれば。
文句あるんなら岩波に手紙でも書いたら？
0690１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:22:30乗ってなければ、範囲外だろ
0691673
2005/10/31(月) 23:23:40ほんというと数学辞典の定義よむまではオレ>>686の曲線はy=0に漸近するって
答えてたかもしれん。しかし漸近するの意味にはどうも傾きも収束しないといかんようだ。
0692１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:24:500693１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:25:27漸近線そのものは出てきてた。
定義は憶えてないが。
0694１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:25:520695１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:26:590696１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:27:09オレは岩波の定義を採る。理由：長いものにはまかれろ。
0697１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:28:00うせろ！
0698１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:28:500699１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:30:010700１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:30:43lim[x->∞] f(x)-(ax+b) = 0
lim[x->∞] f(x)-(cx+d) = 0
を満たすような実数a,b,c,dが存在しないような……
って事なんじゃないのか。細かいことをｸﾞﾀﾞｸﾞﾀﾞと……
すまんせん、俺が発端ですorz
0701１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:32:36んなことはない。
数研出版の教科書では>>666だ！
0702１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:33:26オレはべつに岩波のまわしもんでも曲線の項の筆者のシンパでもないからどっちでもいいんだが。
0703１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:37:10曲線k上を点Pが限りなく遠くへ移動する場合に、点Pからの距離が
無限小となるような定直線gが存在するとき、gをkの漸近線という。
0704１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:39:030705１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:43:37曲線は漸近線には含まない。
0706１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:45:07t→∞で直線と(t,f(t))の距離→0は必要条件ではあるみたいな記述があるので
（正確には｢このときC0上の点P(x0,y0)からlまでの距離は,x0→∞のとき0に収束する｣とある）
岩波数学辞典は距離→0は漸近線であるための必要条件の一つではあるが
十分条件ではないという立場をとってるように見える。
意外に支持されないな。数学辞典。
0707１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:45:42岩波数学辞典 ○ ○ ×
広辞苑 ○ ○ ○
数研出版 ○ × ×
0708１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:52:540709１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:53:53岩波は(2+sin(x^2))/xをはじく根拠がよくわからん
0710１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:54:01> 703 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/10/31(月) 23:37:10
> 広辞苑引いてみた
>
> 曲線k上を点Pが限りなく遠くへ移動する場合に、点Pからの距離が
> 無限小となるような定直線gが存在するとき、gをkの漸近線という。
定直線gが
定直線gが
定直線gが
0711１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:55:070712１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:55:501/x (e^x)sinx (2+sin(x^2))/x
岩波数学辞典 ○ ○ ×
広辞苑 ○ ○ ○
数研出版 ○ × ○
0713１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:57:570714１３２人目の素数さん
2005/10/31(月) 23:58:35解析概論は岩波数学辞典と同じだね。7章、微分法の続き（陰伏函数）§86曲線の方程式(p312)。
つうか数学辞典の方が解析概論ひきうつしたのかもしれないけど。
0715714
2005/11/01(火) 00:17:33正確には解析概論には漸近線の定義はなくて一例として曲線
x^3+y^3-3axy=0 (a>0)
があげられていてt=y/xを媒介変数としてこの点における接線は
Xt(2-t^3)-Yt(1-2t^3)=3at^2
になりt→-1のとき極限の位置としてX+Y=-aを得るとある。その後の文章を丸写しすると
｢t→-1のとき、接線の極限の位置としてX+Y=-aを得る。それは漸近線(asymptote)である。
実際、点tからX+Y+a=0へのきょりは･･･中略･･･で、t→-1のとき限りなく小さくなる。｣
とある。つまり漸近線であることのチェックを点と直線の距離がかぎりなく小さくなるか否かでチェック
してるので解析概論では距離→0で漸近線であることの必要十分条件であるようにあつかってるように見える。
0716１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 00:46:20ビシッと定義してくれよ
0717１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 00:47:280718１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 00:50:17２かな？とりあえず内部に格子点をもたない三角形のうち面積最大であるものを求めよって
問題によみかえると２になるみたいなんだけど。
0719１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 00:53:260720１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 01:14:47>>718
これってまだやっぱ問題がおかしくね
たとえば面積0.1の三角形でも、うまく動かしたら格子点を含むようにできるんだけど
0721１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 01:18:23いや、>>684の問題はどう配置しても絶対格子点にふれてしまうような三角形の面積の最小値をもとめろって
いってるんだろ。面積0,1の三角形だとどんな変な形の三角形をつくってもうまく配置すれば格子点に
ふれないようにできる。
0722１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 01:18:330723１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 01:23:26なんで？>>684の問題は文章がちょっとうまくないので補足すれば
条件 △ABCはどのように平行移動しても、回転しても必ずx-y平面上の格子点を含む。
この条件を満たす△ABCの面積の範囲をもとめよ。
がまあ妥当な補足で>>718と同じ答えになると思うけど。
0724１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 01:31:480725１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 01:34:29ああ、すまん。>>718はおかしかった。>>723のように書けばよかったorz。
たぶん答え２じゃないかな？かなりラフに議論してるから勘に近い。
0726１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 01:36:540727１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 01:40:420728720
2005/11/01(火) 01:41:58条件Ａ 「この三角形は、どうやって配置しても格子点を含んでしまう。」
これの否定は
条件Ａ′「この三角形は、うまく配置すれば格子点を含まないようにできる。」
で、元々の S の条件は
「面積 S の三角形のうちに、条件Ａをみたすものがある。」
だけど、これの否定は
「面積 S の三角形は、どれも条件Ａをみたさない。」
つまり
「面積 S の三角形は、どれも条件Ａ′をみたす。」
S が十分小さければ、面積 S の三角形は、どれも条件Ａ′をみたすわけだ。
スレを汚して申しわけない
こんなことじゃ東大通らないなｗ
0729１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 02:48:15君が一番まともだね
0730１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 02:55:56あんたが一番
0731１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 03:01:22ttp://en.wikipedia.org/wiki/Asymptote
Asymptote
From Wikipedia, the free encyclopedia.
An asymptote is a straight or curved line which a curve will approach arbitrarily closely.
A specific example of asymptotes can be found in the graph of the function f(x) = 1/x,
in which two asymptotes are being approached: the line y = 0 and the line x = 0.
A curve approaching a vertical asymptote (such as in the preceding example's x = 0,
which has an undefined slope) could be said to approach an "infinite limit".
Asymptotes need not be parallel to the x- or y-axis, as shown by the graph of x + 1/x,
which is asymptotic to both the y-axis and the line y = x. When an asymptote is not parallel
to the x- or y-axis, it is called an oblique asymptote.
（以下略）
0732１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 03:07:240733１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 03:57:31-1/xとか1/3xとか(sin x)/3xとか答えられても困ると思うんだが、、
こういうのも漸近線なのか？
0734１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 10:22:320735１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 11:07:54とりあえず、2より大きいことは間違いなさそう。
△ABCの辺で最も長いものをBCとする。
条件よりBCをx軸上に配置し、Aをy>0の領域に配置しても△ABCは格子点を少なくとも一つ含む。
(1) 点Aのy座標は1以上である。
証明 ( つか、明らかなんだけどね )
背理法で示す。Aのy座標をhとして、0＜h＜1とする。
(1-h)/2 だけ△ABCをy軸方向に移動すれば、三点A,B,Cのy座標は
すべて0より大きく、1より小さい値をとる。
この事より、Aのy座標は1以上である。
(2) △ABCと直線y=1との共通部分(点or線分)の長さは1以上である。
証明 (これも明らかだよなぁ)
背理法で示す。共通部分の長さが1未満であるとすると、△ABCをBCをx軸上に置いたまま
平行移動することで、 △ABC中にy=1を満たす格子点を持たないように配置することができる。
また、辺BCの最大性より、∠B,∠C＜π/2が成立するため、このとき、△ABCに含まれる
格子点はy=0を満たすはずである。 従って、この△ABCをy軸方向に少しずらせば、
△ABC上に格子点を含まないようにできる。
(3) BCの長さをa、△ABCとy=1との共通部分の長さを1としたとき
△ABCの面積はa =1+2/(√3) の時に最小値をとる。
証明 ( ﾁｮｲﾑｽﾞｲ )
辺BCの最大性より∠A≧∠B,Cが成立する。
今、辺BCの長さを固定し、点Aのy座標を一定にしたまま、x-y平面を移動することを考える。
この場合、△ABCの面積は一定に保たれたまま、∠Aの値が変化することが分かる。
そして∠Aの値はAB=ACの時、最大になる。従って(3)の条件を満たし、かつBCの最大性を満たすためには
AB=AC≦BCの場合を考えればよい。このとき、a≧1+2/(√3)となる。
今、Aのy座標をhとすると、h=a/(a-1)が成立する。 従って△ABC=ah/2であることから、
(a^2)/(a - 1) = (a^2 - 1 + 1)/(a-1) = a + 1 + 1/(a - 1)の最小値を求めればよい。
この式はa≧1+2/(√3)の範囲で単調に増加するため、a=1+2/(√3)の時、最小値をとる。
0736１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 11:09:18えーっと、こっから、一辺の長さが1+2/√3の正三角形が条件を満たすことを言ってやれば
いいと思うんだけど、後は任せた
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
0737１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 12:23:52漸近線は直線だ。覚えておけ
0738１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 13:37:26以上より、三角形ABCの面積が一辺1+2/(√3)の正三角形の面積( >2 )を下回るときは、
条件を満たさないような三角形を描くことができることが分かる。
次に一辺1+2/(√3)の正三角形ABCが条件を満たすことを示す。
△ABCの座標を次のようにして考える。
(1) A,B,Cのうち一番y座標が小さいものの中で、最もx座標が小さいものを点Aとする。
(2) 点Aのx座標がA,B,Cの中で最も小さい場合は (4)へ、真ん中の場合は (3) へ、
一番大きい場合は三点A,B,Cのx座標値に-1をかけて(4)へ。
(3) 三点、A,B,Cのy座標値に-1をかけて(1)へ。
(4) 点Aが0≦x,y＜1の範囲に収まるよう、x,y軸方向に整数値分だけ平行移動する。
あとは虱潰しか・・・面倒なのでやめ
0739GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/11/01(火) 14:57:380740１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 15:45:52やってみろ！
0741１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 17:19:36たぶん9/4だ。証明すべきことは
(I)△ABCの面積が9/4より小さいなら適当に平行移動、回転させれば周、内部に
格子点がないようにできる。
(II)最大辺BCが3である直角２等辺３角形ABCはどのように配置しても周か内部に格子点をふくむ。
(I)には次のI’が十分条件
(I’)いかなる３角形ABCにたいしてもそれと相似で内部に格子点をもたないものが存在する。
(I’)⇒(I)は簡単なので(I’)をしめす。
α+β+γ=πである正の実数を任意にとる。∠A=α、∠B=β、∠C=γである三角形ABCで
内部に格子点がないものを構成すればよい。αが最大として一般性をうしなわない。
B(cotβ+1,0)、C(-cotγ,0)、B’(1,1)、C’(0,1)として直線BB’、CC’の交点をAとする。
△ABCの面積が9/4よりおおきいことをしめす。Aのy座標1+aはacotα+bcotβ=1を満たすから
a=。結局ABCの面積=S=1+(1/2)cotβ+(1/2)cotγ+(1/2)(1/(cotβ+cotγ))。
cotβ+cotγ=tとおくとS=1+(1/2)(t+1/t)で凸不等式からt≧2cot((β+γ)/2)≧2。
∴S≧9/4。
(II)をしめすためには次が十分
(II’)最大辺BCが3である直角２等辺３角形ABCについて辺ABと辺AC上にそれぞれ異なる格子点が
のるときAB、AC上以外の場所にも格子点がのる。
(II’)⇒(II)はもし(II)を否定すると辺、内部に格子点をもたない最大辺BCが3である直角２等辺３角形
が存在するはずであるがこれを辺AB、ACに平行に２回平行移動すると(II’)を否定する直角２等辺３角形
が構成できることからでる。容易ゆえ詳細は略。
で(II’)の証明だが3角形の直径、つまりいちばん遠い２点がBC=3であることから
AB、AC上にのってる格子点をP、Qとするとき
(i)P(0,0)、Q(0,1)、(ii)P(0,0)、Q(1,1)、(iii)P(0,0)、Q(,2,1)、(iv)P(0,0)、Q(3,0)
として一般性を失わず、それぞれAB、AC外に格子点をもつことがいえる。
ちょっとメンドイ。
いまんとここんな泥臭いやりかたしか思いつかんけどとりあえず答えは9/4。
0742１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 17:25:07接線＝｢接(する直)線｣とおなじ理屈で
漸近線＝｢漸近(する直)線｣だろう。実際漸近線の定義がのってる文献がいくつかあがってるけど
微妙なちがいがあるにせよ曲線の漸近線を許す定義はひとつもあがってないし。
0743１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 17:37:37曲線を漸近線だとして扱っている文献を何か一つでも挙げてくれよ
0744１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 17:59:22元々は単に質問だったじゃないか。
それがどうして、漸近線を曲線に含むと主張するって変わるんだ？
主張と質問だとまるで違うぞ。
0745１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 18:00:31曲線もいれるんだな。しかし･･･まあ･･･Wikipediaだからな～。
0746１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 18:16:470747１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 18:20:150748GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/11/01(火) 18:28:270750735本人
2005/11/01(火) 18:35:47簡単かと思ったが、意外と面倒な続き何でやってない……
0751１３２人目の素数さん
2005/11/01(火) 18:36:17皆が一日前に通り過ぎた道を…
0752741
2005/11/01(火) 18:51:25β+γ≦(2/3)πだからcotβ+cotγのとりうる範囲は
cotβ+cotγ≧2cot((β+γ)/2)≧2cot(π/3)=2/(√3)、等号はβ=γ=π/3のときだ。
面積が(√3)(1+2/√3)^2/4よりちいさければ格子点とふれないように配置できるのは
>>741のI’とおなじ方針でいけるハズ。
でたぶんこの一辺1+2/√3の正３角形がきっとSの最小値できっとどのように配置しても
格子点とふれるんだろう。その証明はたしかにめんどくさそうだ。9/4のときもめんどくさかった。
0753１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 02:22:20ガッコンに類似の問題あり
0754１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 15:25:49T1：y^2+z^2≦1，xは任意
T2：z^2+x^2≦1，yは任意
T3：x^2+y^2≦1，zは任意
このとき、T1の側面上にあって、T2とT3の内部にある部分の面積を求めよ。
0755１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 15:41:140756１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 17:29:40第2群{2,4}
第3群{3,6,9}
第4群{4,8,12,16}
・
・
・
なる数列{an}がある。
ただし第k(kは1以上の整数)群は、初項k,交差k,項数kの等差数列である。
また自然数mに対して,f(m)を{an}にmが現れる回数とする。
(1)f(2m)=2f(m)となるmはどのような自然数か。
(2)f(m)=2006となる最も小さい自然数mを求めよ。
0757１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 17:42:43○公差
0758１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 21:37:35スマソ 意味不明なので訳してくれないか？
第5群{5, 10, 15, 20, 25}
の場合5が3回出てきているからf(5) = 3ということ？
0759１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 21:46:13恐らく
第1群{1}
第2群{2,4}
第3群{3,6,9}
第4群{4,8,12,16}
・
なので、
数列{an}っていうのは
1,2,4,3,6,9,4,8,12,16……
になるんでないかと、
この数列に4が表れる個数は2個なので
f(4)=2かと
0760１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 21:50:090761１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 21:52:140762１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 21:55:55この図形を三本の直線で分割することを考える。
(1)
一点で交わる三本の直線を用いて凸図形を6等分できることを示せ。
(2)
どのように三本の直線を引いても7等分することはできないことを示せ。
0763１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 21:56:43なるほど。そういう解釈の仕方ですか。
そうすると、f(2m) = 2f(m)となるのは、公約数がかぎになりそう。
m = 2,3,4,5は成り立つけど、12は2×2×3で・・・面倒くさいからやめた。
0764１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 21:58:16正整数n,kを使ってn^2+n(k-1)=n(n+k-1)と表せるから
f(m)はn(n+k-1)=mの解の数となる。
これはmの約数のうち√m以下のものの数に一致する…かな？
0765１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 22:00:59nって何を指してるの？
0766１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 22:06:08表をタテに見ていくとn列目は初項n^2、公差nの無限列になってる
1
2 4
3 6 9
4 8 12 16
5 10 15 20 25
0767１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 22:10:15> 数列{an}っていうのは
> 1,2,4,3,6,9,4,8,12,16……
> になるんでないかと、
これからそうぞうすると
a(1) = 1
a(2) = 2
a(3) = 4…と思っていた。問題が悪い気がする。はしょりすぎと思われｗ
0769１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 22:34:57大目に見てやろうぜ！
ちょいと晒し上げ！
0770767
2005/11/03(木) 22:36:18> 第1群{1}
> 第2群{2,4}
> 第3群{3,6,9}
> 第4群{4,8,12,16}
> ・
> ・
> ・
> なる数列{an}がある。
って書いてあっても 数列a(n)と群との関係がわかりません。
俺の暗黙の了解を読み取る能力が不足しているといえばそれまでですけどね。
１ >>759解釈
数列{an}っていうのは
1,2,4,3,6,9,4,8,12,16……
２ >>764解釈
>>756に出てくる数列に現れる数は
正整数n,kを使ってn^2+n(k-1)=n(n+k-1)と表せる
というものを読んでも、問題解釈は各人に委ねられており、問題から一意に読み解けることは
できないと思います。
0771１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 22:37:59君の言うとおりだね！
0772１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 23:39:08その二つは同じ意味だろ。
数列1,2,4,3,6,9,4,8,12,16……に含まれる数っていうのは
ある正の整数nと1≦k≦nなる整数kを使って、
n^2+n(k-1)とあらわされるわけだろ。
問題解釈が各人に委ねられている訳ではないと思われ。
0773１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 23:44:15すまん、
0774１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 23:44:510775１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 23:45:49結局>>772に書いたとおりか。>>770の二つは結論として同じ意味。
0776１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 23:48:380777１３２人目の素数さん
2005/11/03(木) 23:55:01>>772 訂正
数列1,2,4,3,6,9,4,8,12,16……に含まれる数っていうのは
ある正の整数nと正の整数kを使って、
n^2+n(k-1)とあらわされる
0778１３２人目の素数さん
2005/11/04(金) 01:03:34(1)
f(n)を考えるためには、第n群までの数列を検討すればよい。
また、第n群までに整数nが含まれるとすれば、それはk|nかつk^2≧nなる自然数をkとして
第k群に一個ずつ含まれているはずである。
従ってf(n)はnの約数のうち、√n以上のものの個数である。
nが非平方数であるとき、f(n)はnの約数を2a個( nが非平方数の時はnの約数は偶数個 )として、 f(n)=a
nが平方数であるときは、f(n)はnの約数を2a-1個として、f(n)=a
2mが平方数、mが非平方数のとき。
m=2^p*3^q*……として、
2mの約数の個数は (p+2)(q+1)……
mの約数の個数は (p+1)(q+1)……
となる。 (q+1)……=Aとおけば、f(2m)=2f(m)は
(A(p+2)+1)/2 = 2( A(p+1)/2 )
と書き直せる。この式を変形すると、
A(p+2) + 1 = 2A(p+1)
Aｐ=1
より、A=p=1が成立する。従って、m=2．
2mが非平方数、mが平方数の時。
A(p+2)/2 = 2( (A(p+1)+1)/2 )
A(p+2) = A(2p+2) + 2
Ap=2
A=1、p=2またはp=1、A=2.
従ってm=4または、m=2q(qは奇素数)
2m,mが非平方数のとき、
A(p+2)/2 = A(p+1)
A(p+2) = A(2p+2)
Ap=0
従って、条件を満たすmは存在しない。
以上をまとめると、m=2q (qは1または素数)
0779１３２人目の素数さん
2005/11/04(金) 01:47:500780１３２人目の素数さん
2005/11/04(金) 02:15:440781１３２人目の素数さん
2005/11/04(金) 02:56:32質問は質問スレに行けや、ゆとり脳野郎！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
0782１３２人目の素数さん
2005/11/04(金) 05:06:41m=3のとき
f(2*3)=2
2f(3)=2でf(2*3)=2f(3)になるけど
因みにf(6)とf(3)はプログラムで数を確認した
0783１３２人目の素数さん
2005/11/04(金) 05:48:27f(1)=1,f(2)=1,f(3)=1,f(4)=2,f(5)=1,f(6)=2,f(7)=1,f(8)=2,f(9)=2,f(10)=2,f(11)=1,f(12)=3,f(13)=1,f(14)=2,f(15)=2,f(16)=3,f(17)=1,f(18)=3,f(19)=1,f(20)=3
0784１３２人目の素数さん
2005/11/04(金) 06:00:00２＾５８×３＾１６×５×７。
0785778
2005/11/04(金) 08:21:59(1)
f(n)を考えるためには、第n群までの数列を検討すればよい。
また、第n群までに整数nが含まれるとすれば、それはk|nかつk^2≧nなる自然数をkとして
第k群に一個ずつ含まれているはずである。
従ってf(n)はnの約数のうち、√n以上のものの個数である。
nが非平方数であるとき、f(n)はnの約数を2a個( nが非平方数の時はnの約数は偶数個 )として、 f(n)=a
nが平方数であるときは、f(n)はnの約数を2a-1個として、f(n)=a
2mが平方数、mが非平方数のとき。
m=2^p*3^q*……として、
2mの約数の個数は (p+2)(q+1)……
mの約数の個数は (p+1)(q+1)……
となる。 (q+1)……=Aとおけば、f(2m)=2f(m)は
(A(p+2)+1)/2 = 2( A(p+1)/2 )
と書き直せる。この式を変形すると、
A(p+2) + 1 = 2A(p+1)
Ap + 2A + 1 = 2Ap + 2A
Ap=1
より、A=p=1が成立する。従って、m=2．
2mが非平方数、mが平方数の時。
A(p+2)/2 = 2( (A(p+1)+1)/2 )
A(p+2) = A(2p+2) + 2
Ap+2A = 2Ap + 2A + 2
0=Ap+2
従って条件を満たすmは存在しない。
2m,mが非平方数のとき、
A(p+2)/2 = A(p+1)
(p+2)/2 = p+1
p+2=2p+2
p=0
従って、mは奇数。かつ、非平方数。
以上をまとめると、m=2または、平方数でない奇数。
0786１３２人目の素数さん
2005/11/05(土) 00:26:130787GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/11/05(土) 10:25:581/e付近の挙動が微妙すぎて、とても計算機なしでは解けない。
0788１３２人目の素数さん
2005/11/05(土) 12:36:170789１３２人目の素数さん
2005/11/05(土) 12:40:29A = { [na] | n=1,2,3,・・・}
B = { [nb] | n=1,2,3,・・・}
とおく。ただし、実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数を表す。
Nを正の整数とする。
（1) Nが集合Aの要素であれば、Nは集合Bの要素でないことを示せ。
（2）Nが集合Aの要素でなければ、Nは集合Bの要素であることを示せ。
0790１３２人目の素数さん
2005/11/05(土) 12:42:210791１３２人目の素数さん
2005/11/05(土) 12:44:360792１３２人目の素数さん
2005/11/05(土) 13:40:48本当はレイリーの定理って言うんだっけ
0793１３２人目の素数さん
2005/11/05(土) 15:25:01高校範囲で解けるよ
計算も複雑じゃない
0794１３２人目の素数さん
2005/11/05(土) 16:26:17不等式スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/466-467
0795GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/11/05(土) 18:30:440796１３２人目の素数さん
2005/11/05(土) 18:31:40webランキング3位
http://gduy.cure.to/
覚醒剤の売人・覚醒剤に溺れる人達・警察捜査情報横流し・未公開株詐欺の手口・二八商法に騙された人達・・・すべて実話です。
･･･････・
私は、この時の出来事を、綾瀬署に確認しました。
確かに、誰か、Yに連絡した事実はあると、綾瀬署、捜査の高橋さんが
言っていました。
･････････
事実かどうかは、わかりませんが、Yは、わたしが逮捕された時、自分が
逮捕される事をふせぐ為に、
ある刑事さんに100万円のお金を渡したそうです。
Yから聞きました。その証拠に、Yが話した事、すべてテープに録音してあります。
0797１３２人目の素数さん
2005/11/05(土) 18:48:371/a + 1/b = 1 とする。
(1) N∈A ⇔ ∃n; N≦na<N+1 ⇔ b(N-n)≦N, N+1<b(N-n+1) ⇔ ∀n; [bn]≠N.
(2) ∀n; [an]≠N ⇔ ∃n'; an'≦N, N+1<a(n'+1) ⇔ N≦b(N-n)<N+1 ⇔ N∈B.
(解説)
1/a + 1/b = 1 より、
[N/a] + [N/b] = N-1.
∴ Nを1増やすと、左辺のいずれかが1増える。
0798１３２人目の素数さん
2005/11/05(土) 18:50:42追加
A∪B=N( 自然数 ) になるとき、a,bを求めよ。
0799798
2005/11/05(土) 18:51:380800797
2005/11/05(土) 19:37:18A_N = A∩{1,2,･･･,N-1} の要素の数 [N/a]
B_N = B∩{1,2,･･･,N-1} の要素の数 [N/b]
A_N + B_N = {1,2,･･･,N-1}
0801１３２人目の素数さん
2005/11/06(日) 08:50:56× a+b=1を満たす性の無理数とし、
○ 1/a + 1/b =1を満たす性の無理数とし、
だよね。
0802GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/11/06(日) 09:05:530803１３２人目の素数さん
2005/11/06(日) 09:39:25やっぱ、お前を NGname に入れとくよ。
ろくな発言しないからな。
あばよ！
0804１３２人目の素数さん
2005/11/06(日) 09:42:050805GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/11/06(日) 10:09:020806１３２人目の素数さん
2005/11/06(日) 10:29:15■（理系用）
【 １ 】円周率が3.06より大きいことを証明せよ．
【 ２ 】円周率が3.07より大きいことを証明せよ．
【 ３ 】円周率が3.08より大きいことを証明せよ．
【 ４ 】円周率が3.09より大きいことを証明せよ．
【 ５ 】円周率が3.10より大きいことを証明せよ．
【 ６ 】円周率が3.11より大きいことを証明せよ．
■（文系用）
【 １ 】円周率が3.23より小さいことを証明せよ．
【 ２ 】円周率が3.22より小さいことを証明せよ．
【 ３ 】円周率が3.21より小さいことを証明せよ．
【 ４ 】円周率が3.20より小さいことを証明せよ．
【 ５ 】円周率が3.19より小さいことを証明せよ．
【 ６ 】円周率が3.18より小さいことを証明せよ．
0807１３２人目の素数さん
2005/11/06(日) 13:00:17その行為を肯定して欲しいからなんだな
0808１３２人目の素数さん
2005/11/06(日) 19:36:37透明あぼーんしました！
0809１３２人目の素数さん
2005/11/06(日) 22:47:42なのはさんと同じ高度で真南に秒速100mで飛行中のヴィータちゃんを見つけました。
なのはさんはヴィータちゃんをディバインバスターで狙撃しようと思いました。
ヴィータちゃんがなのはさんの攻撃に気づかないとき、
攻撃を命中させるために最低限必要なディバインバスターの弾速を求めなさい。
0810１３２人目の素数さん
2005/11/07(月) 00:26:412006年東大入試対策その１
■（理系用）
内接する正n角形の半周長と比べる: π > n･sin(π/n)
【１】 正8角形 π > 8･sin(π/8) = 4√(2-√2) ≒ 3.06146745892072･･･
【２～５】正12角形 π > 12sin(π/12) = 3(√6-√2) ≒ 3.10582854123025･･･
【６】 正16角形 π > 16sin(π/16) = 8√{2-√(2+√2)} ≒ 3.12144515225805･･･
または正24角形 π > 24sin(π/24) = 12√{2 -(1+√3)/√2} ≒ 3.13262861328124･･･
■（文系用）
外接する正n角形の半周長と比べる: π < n･tan(π/n)
【１，２】正12角形 π < 12tan(π/12) = 12(2-√3) ≒ 3.21539030917347･･･
【３～５】正16角形 π < 16tan(π/16) = 16{√(4+2√2) -√2 -1} ≒ 3.18259787807453･･･
【６】 正24角形 π < 24tan(π/24) = 24{(1+√3)(√2 -1)-1} ≒ 3.1596599420975･･･
0811１３２人目の素数さん
2005/11/07(月) 01:06:530812１３２人目の素数さん
2005/11/07(月) 02:00:090813GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/11/07(月) 19:36:530814GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/11/07(月) 19:39:54単位円の面積が円周率になることは高校生でも証明できるはずだ。
0815１３２人目の素数さん
2005/11/07(月) 20:06:51／| ─── /＼ ─── │ ───
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0816１３２人目の素数さん
2005/11/07(月) 20:30:260817１３２人目の素数さん
2005/11/07(月) 20:34:230818１３２人目の素数さん
2005/11/07(月) 20:49:48トー ＼ |
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0819１３２人目の素数さん
2005/11/07(月) 20:55:04数え約マン子
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0821１３２人目の素数さん
2005/11/07(月) 21:06:140822１３２人目の素数さん
2005/11/07(月) 21:10:300823１３２人目の素数さん
2005/11/07(月) 21:19:20｜ ｜ ー―― ―┼─
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│萬│萬│萬│ I. │I...I│I...I│萬│萬│萬│萬│萬│萬│萬│
0824１３２人目の素数さん
2005/11/07(月) 21:29:520825１３２人目の素数さん
2005/11/07(月) 21:48:470826１３２人目の素数さん
2005/11/07(月) 21:52:150827１３２人目の素数さん
2005/11/07(月) 21:56:481223445+333 ×
12233445+33 36 3純カラ
123 234 345 34 25
0828GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/11/07(月) 21:56:500829１３２人目の素数さん
2005/11/07(月) 21:59:010830１３２人目の素数さん
2005/11/08(火) 01:54:49線分ABCD があって、AB=CD とする。このとき 任意の点Pについて PA + PD ≧ PB + PC を示して下され。
Problem 233.
n! を超えない整数k は、高々n個の相異なる正整数（と言ってもn!の約数だが）の和として表わせる
ことを示してくださいです。。。
http://www.math.ust.hk/excalibur/v10_n4.pdf
0831１３２人目の素数さん
2005/11/08(火) 02:09:53答えのっとるやん。問題の訳もおかしいし。
0832１３２人目の素数さん
2005/11/08(火) 17:32:190833１３２人目の素数さん
2005/11/08(火) 20:50:27なのはさんとの高度差100mを保ちながら真南に秒速100mで飛行中のヴィータちゃんを見つけました。
なのはさんはヴィータちゃんをディバインバスターで狙撃しようと思いました。
ヴィータちゃんがなのはさんの攻撃に気づかないとき、
攻撃を命中させるために最低限必要なディバインバスターの弾速を求めなさい。
0834１３２人目の素数さん
2005/11/09(水) 01:55:40ここにおもろそうな問題のっとるがな
0835１３２人目の素数さん
2005/11/09(水) 02:01:090836VIPPER
2005/11/09(水) 02:56:48開成中の入試過去問題にお手上げ状態┐(´ー｀)┌
【秀才】 この問題の解き方教えてくれ 【集まれ】
http://news19.2ch.net/test/read.cgi/news/1131301609/
http://146.progoo.com/rental/img_bbs2/img_data/146_2965_46f7b0e076.jpg
0837１３２人目の素数さん
2005/11/09(水) 03:11:14うはｗｗこれ大学入試なら解けるんだけどな
三平方の定理って使っていいんだっけ？
0838１３２人目の素数さん
2005/11/09(水) 03:22:38点Ａの位置を求めればいいから、大学入試ならたとえば
点Ａが右の辺からどれだけ離れているかをx
点Ａが下の辺からどれだけ離れているかをyとおく
三平方の定理から x^2 ＋ y^2 = 10^2
また (5-x)^2 + (y-5)^2 = 5^2
これらから 10 (x+y) = 125 よって x + y = 12.5
ゆえに x^2 + y^2 + 2xy = 156.25
よって 2xy = 56.25 つまり xy = 28.125
これらから x と y は t^2 - 12.5t + 28.125 の解で ～～～
とかそんな感じに解けるんだけど、小学生の解じゃないよなあｗｗ
0839１３２人目の素数さん
2005/11/09(水) 03:24:470840１３２人目の素数さん
2005/11/09(水) 03:34:20ってニュー速かよｗｗVIPで探してた
0841１３２人目の素数さん
2005/11/09(水) 12:36:07とりあえずチラ裏
小円の面積は２５π
扇形の面積も２５π
影の部分の面積をＳとして、
Ｓ＝扇形－（扇形と小円の重複部分）
が成り立つ。
0842１３２人目の素数さん
2005/11/10(木) 02:53:47| |
| ∩ ジャーッ ゴボゴボ・・・
＿＿ノ .| | | ＿
| | .| | ./ ）ノ＼__ヽ
ヽ二二 ヽ -―- | | .／／|＼ノ（◎）
＿____／ ／"￣| ヽ∧＿∧／／ .|
/ / / （ ；´Д｀） ￣￣＼
| |／⌒ﾞ / ／ ＼
.＼ヽ＿_ノ＿＿,,.／｡ ﾟ |＼ .＼
.＼＼::::::::::::::::: ＼＼ ﾟ .／ ￣￣￣￣￣￣
.＼＼::::::::::::::::: ＼＼ | 先生！助けて！
＼＼::::::::::::::::: ＼ .＼＿＿＿＿＿＿＿
＼＼_:::::::::::＿） ）
ヽ-二二-―'
| |
| ゴボゴポポポ・・・
| |
＿＿ノ | ＿
| | | ノ＼__ヽ
ヽ二二 ヽ -―- ､ ∩ | ＼ノ（◎）
＿____／ ／"￣ヽヽ＿| |.＿＿|
/ / _∧＿∧ l / / ＼
| |／（ ；´Д｀）／ ＼
.＼ヽ∠＿_＿_／＼ﾟ ｡ ＼
.＼＼::::::::::::::::: ＼＼. |＼ ＼
.＼＼::::::::::::::::: ＼＼ ／ ￣￣￣￣￣￣
＼＼::::::::::::::::: ＼ | 先せ・・・
＼＼_:::::::::::＿）＼＿＿＿＿＿＿＿
ヽ-二二-―'
0843１３２人目の素数さん
2005/11/15(火) 23:11:50ような正四面体の存在し得る部分は、Cと中心を共有する球の球面またはその内部
であることを示し、その部分の体積を求めよ。
（J）4個の頂点のうち少なくとも1個がCの球面または内部に含まれ、かつ、その重心
もCの球面または内部に含まれる。
0844１３２人目の素数さん
2005/11/16(水) 12:09:58y = sin x と y = n sin(nx) の交点のx座標うち, 原点に最も近い正数を a とおく。
0≦x≦a において、2つのグラフで囲まれる部分の面積を S とするとき、lim[n→∞](n^2)S を求めよ。
誘導もつけておこう。
(1) S を a と n を用いて表せ。
(2) lim[n→∞](n^2)S を求めよ。
0845１３２人目の素数さん
2005/11/16(水) 16:01:533n+2が素数となるようなnは無数に存在するか。
0846１３２人目の素数さん
2005/11/16(水) 16:09:403n+1型の素数を充分大きなpまで順に掛けて
pまでにある3n+2型の素数の二乗も順に掛けて1足して因数分解すれば良い
0847１３２人目の素数さん
2005/11/17(木) 11:04:48マジレスでan→πだからＳ→２になったんだけど？
0848１３２人目の素数さん
2005/11/17(木) 12:59:590849１３２人目の素数さん
2005/11/17(木) 13:27:14(m,n)=(1,1) (2,2)のみ。
0850１３２人目の素数さん
2005/11/17(木) 13:33:03(3、2)のみが正解。
0851849
2005/11/17(木) 13:40:59(n,m)=(2,1),(3,2)
0852１３２人目の素数さん
2005/11/17(木) 15:00:50nが1000000000くらいのときを考えてみりゃS→2は自明だろ
0853１３２人目の素数さん
2005/11/17(木) 21:40:47ばーかｗｗ
0854１３２人目の素数さん
2005/11/17(木) 21:50:390855１３２人目の素数さん
2005/11/17(木) 21:54:04この数ヲタ！ ＿＿＿ ｵﾗｯ !
ﾄﾞｯｶﾝ | | でてこい、ロリコン！
∩∩ | | | ∩∩
| | | | | | | | | | |
..( ,,) .| | | (・ｘ・ ）
/ .つ━━ﾛ|ﾛ ﾄﾞｶﾝ l |Ｕ
～（ / | ｜ |⊂＿ |～
し'∪ | | | ∪
0857１３２人目の素数さん
2005/11/17(木) 22:02:370858１３２人目の素数さん
2005/11/17(木) 22:06:16８だよ
0859１３２人目の素数さん
2005/11/17(木) 22:24:160860１３２人目の素数さん
2005/11/17(木) 22:27:100861１３２人目の素数さん
2005/11/19(土) 17:26:36むしろ合成数のほうが面白くないか？
m、nを自然数とする。m+1個の数n、n+m、n+2m、…、n+m^2が
すべて合成数となるようなn、mの組は有限個か？
0862１３２人目の素数さん
2005/11/19(土) 17:28:07nを自然数とする。n+1個の数n、n+1、n+2、…、n+n^2が
すべて合成数となるようなnが無限に存在することを示せ。
ごめん、簡単っぽい・・・
0863１３２人目の素数さん
2005/11/19(土) 22:53:30n～n+nのなかに必ず素数があるっぽい。
0864１３２人目の素数さん
2005/11/19(土) 23:36:53ごめん、そうだったね・・・
吊ってくる。
0865１３２人目の素数さん
2005/11/20(日) 02:31:37方程式x＾4-2（s+t）x＾2+（s+t）＾2=0の解をおしえてください
大至急明日までにお願いします
0866１３２人目の素数さん
2005/11/20(日) 09:23:550867１３２人目の素数さん
2005/11/20(日) 10:11:09東大の過去問
大学への数学にも取り上げられてたね
0869１３２人目の素数さん
2005/11/20(日) 10:28:40何年何月号？
0870１３２人目の素数さん
2005/11/20(日) 21:16:55たしか今年くらいの東大の問題だろ。
東大も落ちたな…
0871１３２人目の素数さん
2005/11/20(日) 21:35:21> 3n+1型の素数を充分大きなpまで順に掛けて
は要らな伊予柑
nを自然数とする。
3n+1が素数となるようなnは無限に存在するか??
>865
x^4 -2(s+t)x^2 +(s+t)^2 = (x^2 -s -t)^2
x = ±√(s+t), 〔両方とも重根〕
s^2 +t^2 ≦ (s+t)^2 = 2(s^2 +t^2) -(t-s)^2 ≦ 2(s^2 +t^2) だから 1 ≦ s+t ≦ √2.
0872１３２人目の素数さん
2005/11/20(日) 22:07:44＞> 3n+1型の素数を充分大きなpまで順に掛けて
＞は要らな伊予柑
なんで？
0873846
2005/11/20(日) 22:51:51あっても間違いじゃないけど
0874１３２人目の素数さん
2005/11/21(月) 23:42:56東大の昔の問題出したら「平和な時代があったもんだな」と評され、
今の問題を出したら「東大も落ちたな」と評される。
みんな「東大の問題」っていうある１つのイメージを持ってるんだろうね。
問題。
p, qは素数で、m, nは2以上の自然数とする。
p^m-q^n=1をみたすp, q, m, nの組をすべて求めよ。
0875１３２人目の素数さん
2005/11/22(火) 01:05:10カタラン予想を素数に限定したものだから、3^2-2^3=1 だろうな。
マスワールド
http://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html
http://mathworld.wolfram.com/CatalansDiophantineProblem.html
数セミ増刊（日本評論社）
鹿野 健: 「数学100の問題｣ p.104-105 (1984)
吾郷孝視: 「数学・物理100の方程式」p.20-21 (1989)
0876１３２人目の素数さん
2005/11/22(火) 01:38:45片方が2ってことは直ぐに分かるけどそっから方針が浮かばないｗ
ってかPreda って人がもう証明してるけどね
ttp://www.math.waseda.ac.jp/NTseminar/2004.html
＞題名：Catalan予想の証明の紹介
もしPreda の定理より（りゃ とかカタラン予想（肯定的に解決済）より（りゃ
って解答が出たら採点に困るかもしれないから誘導文つけるだろうね
0877１３２人目の素数さん
2005/11/22(火) 17:34:36証明を載せた方が、模範的な解答だと思うけど、どーなんだろーね？
0878１３２人目の素数さん
2005/11/22(火) 18:07:24採点者も嫌なんじゃないかなあ、、
しかもその証明が間違っていたりしたら点の付け方に困るだろうしｗ
0879１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 00:32:41ab/(a+b), bc/(b+c), ca/(c+a)
が全て整数となるためのa,b,cの条件を求めよ。
0880１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 00:52:58箱の中からでたらめにカードを１枚取りだし、書かれた文字を見た上で箱の中に戻すとい
う試行を最高５回まで繰り返す。r回目（２≦r≦５）の試行が終わったとき、【ス】およ
び【ミ】と書かれたカードをそれぞれ少なくとも１回取り出していたら、ゲームはスミ（
終了）とし（それ以降の試行を行わず）、それまでに取り出した【テ】の枚数をテン（得
点）とする。５回目まで行ってもスミとならない場合の得点は０とする。このゲームの得
点の期待値を求めよ。
0881１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 01:04:260882１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 01:15:480883１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 01:22:58箱の中からでたらめにカードを１枚取りだし、書かれた文字を見た上で箱の中に戻すという試行を繰り返す。
r回目の試行が終わったとき、【ス】および【ミ】と書かれたカードをそれぞれ少なくとも１回取り出していたら、
ゲームはスミ（ 終了）とし（それ以降の試行を行わず）、それまでに取り出した【テ】の枚数をテン（得点）とする。
このゲームの得点の期待値を求めよ。
0884１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 01:42:590885１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 18:15:51http://www10.plala.or.jp/mathcontest/2005r.htm
0886１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 22:07:23これらすべての整数である条件を求める。
答えは、ない。
（証明）
あるならいってみろ！！
酔って題意は示された。■
0887１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 22:07:58a=b=c=2があるだろ馬鹿。
0888１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 22:56:40が全て整数となること
0889１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 23:04:31a=b=cが偶数のときは成立してるようにみえる。
0890１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 23:10:310891１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 23:11:56a^2/2a=nとすると
a(a-2n)=0
ちうわけでa=b=c=2n
0892１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 23:29:00>>879の「答え」が用意されているとは思えない。
0893１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 23:34:32いくらでもみつかるってことはa=b=c=2n以外の解もあるの？
うｐしてちょんまげ。
0894１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 23:39:00分母の公倍数をかける。
１，２，３なら２／３，３／４，６／５だから
６０ｎをかけて６０ｎ，１２０ｎ，１８０ｎ。
0895１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 23:44:48なるほど。いくらでもあるってか。てことは>>879は出題ミスか。
0896１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 23:47:1612 4 4とか156 13 13とか
奇数が３つになることはなくて、今のところこっちでは３つの内２つが一致するものしか見つかってない
0897１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 23:50:550898１３２人目の素数さん
2005/11/24(木) 23:52:10奇数３つはありえないけど>>894に３つが全部ことなる解があることがしめされてるじゃん。
>>894の方法でａ：ｂ：ｃがスキな有理数比になる解があることがしめされてるような気がする。
0899１３２人目の素数さん
2005/11/25(金) 00:25:29＞a,b,cの条件を求めよ。
だから別に良いじゃん
有限個とかどこにも書いてないし
こういう問題結構あるよ
0900１３２人目の素数さん
2005/11/25(金) 00:37:45条件をもとめよ型の問題は答えとして想定されてる形にある程度の暗黙の了解が
ないと解けない。なんでもいいなら
正の整数a,b,cに対して
ab/(a+b), bc/(b+c), ca/(c+a)
が全て整数となるためのa,b,cの条件を求めよ。
の答えとして
ab/(a+b), bc/(b+c), ca/(c+a)
が全て整数となることが必要十分。
だって答えになってしまう。大体条件をもとめよ型の問題でそういう暗黙の了解無視した
答えになる問題だす香具師は答えられたくない一心で答えようがない問題つくってくる。
ちゃんと条件２つならべて｢この２つが同値であることを示せ。｣とかにすれば
いい問題になるような問題でもクソ問にしてしまう。
0901１３２人目の素数さん
2005/11/25(金) 00:43:370902１３２人目の素数さん
2005/11/25(金) 00:47:10問題の不備を解答者が補完してやる必要なし。
0903１３２人目の素数さん
2005/11/25(金) 02:25:10一般の数学の問題であれば
～の整数解を分類せよ、みたいな問題も結構あるでしょ
0904１３２人目の素数さん
2005/11/26(土) 21:02:26条件
円板の中心は2点(0,0,0),(1,0,0)を両端とする線分上にある。
円板を含む平面は直線x=y=1を含む。
この円板が存在しうる領域の体積を求めよ。
0905１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 00:47:04円板の重心は線分(0,0,0)-(1,0,0)上を動く。G(t)=(1-t,0,0)とする。
原点からG(t)までの道のりは s(t)=t.
円板の面積は S(t)=π (一定).
円板とx軸のなす角は α(t)=arctan(1/t), sinα(t)=1/√(1+t^2).
↓の補題より、
V = S∫[0,1] 1/√(1+t^2) dt = S[ log(t+√(1+t^2)) ](t=0,1)
= π･log(1+√2) = 0.881373587019543･･･π = 2.76891678604868･･･
〔補題〕Pappus-Guldinの拡張
有界な領域Dを、平面E(t)で切り、その切り口の面積をS=S(t)とする。
Dの各点は唯1枚のE(t)の上にあるとし、切り口の重心G(t)の軌跡をcとし、c上の長さ(道のり)をs(t)、
cの接線と平面E(t)のなす角をα(t)とする。
このとき、領域Dの体積Vは次のように表わされる。
V = ∫S(t)･sinα(t) ds(t).
栗田 稔: ｢求積公式｣ p.21 (1997.3) ← いい冊子でつが....
こんな知識使っちゃ駄目だろうなぁ。>876
0906１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 01:09:49高校範囲の知識から出発した証明を付ければ無問題
0907１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 01:23:410908１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 01:30:480909１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 01:33:40重心の扱いが面倒だから補題を簡略化して円とその中心の軌跡について証明すればいいと思う。
0910１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 01:38:02どうやるすか？
0911１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 01:53:57半径1の円を微小距離dsだけ動かしたときdαだけ回転したとして、回転の軸までの距離をrとすると
円が動いたことで出来た微小体積はπrdα
rdα=ds・sinα (αは中心の軌跡の接線と断面のなす角)
微小体積は円を回転させたトーラスをdα/2πして求めた。
0912１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 02:00:37微小体積論法つかっていいのかな？高さが微小な円筒で分割していくときは
体積なるものが存在してA⊂B⇒Aの体積≦Bの体積をみとめれば
断面E(t)がE(t)とE(t+Δt)に（平行移動したとき）包含関係とかつかって
簡単にしめせるし教科書もそんな感じで証明されてるけど笠型積分とか
パップスギルダンとかバームクーヘンとかは微小領域に包含関係が期待できないから
誤差が０に証明するのがむずかしいような。どうやるすか？
0913１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 02:15:58笠型はいけるべ。バームクーヘンもみたことある。もちろん区分的に単調な関数
の場合だけだけど。
0914１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 02:27:22E(t)の運動を分解して
→ 微小平行移動(ds) → 微小回転(dα) → 微小平行移動(ds) → 微小回転(dα) → ･･･
のようにすると、微小回転は（Gのまわりだから）体積Vには影響しない。
∴ 平行移動の方だけ考えれば宜ろしい。。。
0915１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 03:28:39条件
円板の中心は2点(0,0,0),(1,0,0)を両端とする線分上にある。
円板を含む平面は点(0,1,0)を含む。
この円板が存在しうる領域の体積を求めよ。
0916１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 06:34:445π/3
0917GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/11/28(月) 07:48:410918１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 07:54:54∫_[a,b] f(x)dx = 0 のとき,
∫_[a,b] f(x)g(x)dx ≧0 が成り立つことを示せ。
0919１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 08:55:000920GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/11/28(月) 12:10:150921１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 16:05:59もっと詳しく！
0922１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 17:20:00０≦ｆ（ｘ）（ｇ（ｘ）－ｇ（ｃ））。
0923GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/11/28(月) 17:25:20[>>919]の代わりに答えてやろう。
fが負でないとすると、fの連続性よりf=0(fが0でない点があったら積分が正になる。).
fが正でないとしてもf=0.
fが正の値と負の値の両方をとるならば、fが0になる点xが存在する。(中間値の定理)
fgの定積分は、gをg(x)だけ値に持つ関数に置き換えたものより小さくならない。
これはx以下の区間とx以上の区間に分けて考えればわかる。
よって、fgの定積分は0より大きいか等しい。
0924１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 17:37:16変数か定数かﾜｶﾘﾆｸｽ
0925１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 18:13:110926１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 20:38:37で定義される数列{a_n}について、lim[n to inf]a_nが収束するとき収束値をＡとおく。
Ａの最大値とそのときのｔの値を求めよ。
0927１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 20:52:15収束するとき極限値はx=πsinxの解にかぎられる。
x=πsinxの解は三つあり正の解をαとすれば３解は-α、0、α。
つまりAの可能性はこの３つしかない。
逆にt=αのときa_n=αとなりこのときlim[n to inf]a_n=α。
よってAの最大値はα･･･なんだけど･･･これもとまんの？
0928１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 21:02:57x=πsinxの解は分からないねorz
でもt=π/2でも収束しない？
0929１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 21:07:12収束するtをもとめよじゃなくて収束するときの極限値の最大値なんだから最大値は
あきらかにαだよ。
0930１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 21:14:02確かに！誤解してた(´Д`)なら具体的な値は難しいね
まして入試じゃﾀﾞﾒだ
0931１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 22:49:51関数(x^n)logx
のn次導関数が次で与えられることを示せ。
n!(logx+Σ[k=1 to n]1/n)
0932１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 23:00:43宿題は質問スレに行け！
0933１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 23:01:02それなりに分野も散らばらして
「最強の６題」みたいなのを作って欲しい。
今の東大後期数学とかは別としても、結構なものになりそう。
0934１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 23:04:36宿題じゃねーよ。お前解けんのか？
0935１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 23:09:09愚問だ！
１０年ＲＯＭってろ！
0936１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 23:26:13でも、帰納法でやると結構出来ないねこれ
0937１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 23:28:210938１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 23:37:39xlogx=logx+1
1!(logx+1/1)=logx+1
n=kで成り立つとすると
(d^(k+1)/dx^(k+1))(x^(k+1)logx)
=(d^k/dx^k)((k+1)x^klogx+x^k)
=(k+1)(d^k/dx^k)(x^klogx)+(d^k/dx^k)x^k
=(k+1)k!(logx+Σ[l=1 to k]1/l)+k!
=(k+1)!(logx+(Σ[l=1 to k]1/l)+1/(k+1))
=(k+1)!(logx+Σ[l=1 to k+1]1/l)
よっしゃ、幸一でも解けた
0939１３２人目の素数さん
2005/11/28(月) 23:38:100940１３２人目の素数さん
2005/11/29(火) 01:09:21Ａ=abc+bcd+acd+abdの最大値をa、b、c、dを用いて表せ。
0941１３２人目の素数さん
2005/11/29(火) 01:11:42変数ないやん。てことは最大値=abc+bcd+acd+abd？
0942１３２人目の素数さん
2005/11/29(火) 01:14:350943１３２人目の素数さん
2005/11/29(火) 03:38:27自治医大、防衛医大、気象大のを適当に混ぜただけで相当強いよ。
いろんな意味でｗ
0944１３２人目の素数さん
2005/11/29(火) 17:49:1190年代前半は6問のうち5問が最強レベルだったから参考に
0945１３２人目の素数さん
2005/11/29(火) 21:47:55ついでに京大史上。東工大史上・・・
人によって違うんだろなー
0946１３２人目の素数さん
2005/11/29(火) 22:45:270947１３２人目の素数さん
2005/11/30(水) 02:19:19このとき、男子と女子が隣り合っている箇所の数をＳとおく。
たとえば、
女男男女女女男女男女女女男女男女女男女女
であれば、Ｓ＝１２である。
Ｓの期待値を求めよ。
0948１３２人目の素数さん
2005/11/30(水) 02:50:510949947
2005/11/30(水) 02:55:22正解っす・・・。
さようなら・・・。
0950１３２人目の素数さん
2005/11/30(水) 03:11:50どっかで見たことある問題なんだが、元ネタがあれば教えてください
0951１３２人目の素数さん
2005/11/30(水) 03:25:03このとき、男子と女子が前後または左右で隣り合っている箇所の数をＳとおく。
たとえば、
女男男女女
女男女男女
女女男女男
女女男女女
であれば、Ｓ＝１８である。
Ｓの期待値を求めよ。
0952１３２人目の素数さん
2005/11/30(水) 04:08:39座標平面上に異なるn個の格子点をとり、a+b=nとなる正の整数a,bを任意に決める。
n個の格子点のうちa個を無作為に選んで赤く塗り、残りのb個を青く塗る。
赤い点と青い点を結んでできる線分のうち長さが1のものの個数の期待値をSとする。
あるnに対して最もSが大きくなるようにn個の格子点と整数a,bを選んだときのSをS(n)とすると
lim[n→∞]S(n)/n=1を示せ。
0953１３２人目の素数さん
2005/11/30(水) 12:47:182821/190 かな
0954１３２人目の素数さん
2005/12/01(木) 22:13:48正n角形のある頂点（これは円上の点である）から、
円上を正の方向に点Ｐが、正n角形の辺上を負の方向に点Ｑが、
それぞれ同じ速さで連続的に移動する。
このとき、移動を始めた後に、２点Ｐ，Ｑが一致することがないことを証明せよ。
0955954
2005/12/01(木) 22:17:54と但し書き入れたら、大学入試問題として結構いい気がしてきた。
0956１３２人目の素数さん
2005/12/01(木) 22:38:46高校範囲外なので超越数の定義もよろしく。
0957１３２人目の素数さん
2005/12/01(木) 22:38:500958１３２人目の素数さん
2005/12/01(木) 22:59:13平面状 → 平面上
この俺様の、数ヲタのパソコンなんだから、
漢字変換くらいちゃんとしやがれ！って思う時ない？
このビチ糞IMEがぁ～～～！
0959１３２人目の素数さん
2005/12/01(木) 23:01:310960954
2005/12/01(木) 23:06:35平面状も修正しました。
平面上に半径１の円と、その円に内接する正n角形がある。
正n角形のある頂点（これは円上の点である）から、
円上を正の方向に点Ｐが、正n角形の辺上を負の方向に点Ｑが、
それぞれ同じ速さで連続的に移動する。
このとき、移動を始めた後に、２点Ｐ，Ｑが一致することがないことを証明せよ。
ただし、ただし、円周率πはmを任意の自然数としたとき、
整数係数のm次多項式の解になり得ない事は既知としてよい。
0961１３２人目の素数さん
2005/12/02(金) 02:43:140962１３２人目の素数さん
2005/12/02(金) 03:20:240963１３２人目の素数さん
2005/12/02(金) 13:46:07・3次の整数係数多項式
・極大値を2つ持ち、それらは適当な整数aをもってf(a)、f(f(a))と表される
・極小値を2つ持ち、それらは適当な整数bをもってf(b)、f(-f(b))と表される
このようなf(x)で、各項の係数がaとbの(四則演算の)組み合わせのみで表されるものが無数に存在することを示せ。
0964１３２人目の素数さん
2005/12/02(金) 14:31:13Σ(ﾟДﾟ) ﾊｧ？ ﾊｰｧ？ ﾊｧｧ？ ﾊｯﾊｯﾊｧ-ｱ？
0965１３２人目の素数さん
2005/12/02(金) 17:33:17ｙ=√（1-x^）
（0=〈x=〈1）
0966１３２人目の素数さん
2005/12/02(金) 17:35:170967１３２人目の素数さん
2005/12/02(金) 19:41:43トレビアの種ですか？
最もムカつく Σ(ﾟДﾟ) ﾊｧ？ の言い方。
0968１３２人目の素数さん
2005/12/02(金) 19:42:24３次関数に極大値と極小値が２個ずつあるんですか？
( ・∀・)つ∩ へぇへぇへぇーー
0969１３２人目の素数さん
2005/12/02(金) 19:44:140970１３２人目の素数さん
2005/12/02(金) 20:55:551729/200
0971１３２人目の素数さん
2005/12/02(金) 21:22:02まだまだよのぉ
0972１３２人目の素数さん
2005/12/02(金) 22:25:084次の書き間違いです。
吊ってきます
0973１３２人目の素数さん
2005/12/02(金) 22:33:110974１３２人目の素数さん
2005/12/02(金) 23:17:12おまえ、馬鹿じゃないの？
４次関数って知ってる？
もうね、小学校からやり直せ！
0975１３２人目の素数さん
2005/12/03(土) 15:32:51それにしちゃ間違いが酷いような
0976１３２人目の素数さん
2005/12/03(土) 21:18:09こいつは２次関数の問題すらろくに解けない馬鹿です。
知ったかぶりして、どっかで聞きかじった問題を転載したつもりでしたが
問題が理解できていないので、写すことすらできないようです。 （ ´,_ゝ｀）ﾌﾟｯ
0977１３２人目の素数さん
2005/12/04(日) 18:50:23f(2006)を求めよ。
0978１３２人目の素数さん
2005/12/04(日) 19:12:480979１３２人目の素数さん
2005/12/04(日) 20:34:490980１３２人目の素数さん
2005/12/04(日) 22:23:15P君が女友達AさんかBさんの家に行くことを考える。
はじめAさんの家に行こうとして、P君の家からAさんの家まである距離を進んでから、思い直して、
Bさんの家を目指してある距離進んで、また思い直してAさんの家を目指して、また思い直してBさんの家を目指して・・・
この迷えるP君の究極の動きを記述せよ。
コイツ優柔不断過ぎｗ
0981１３２人目の素数さん
2005/12/04(日) 22:32:580982１３２人目の素数さん
2005/12/05(月) 02:24:27本当に京大の問題ですか？
18年前ということは、1987年？
京大45年の軌跡CD-ROMで、1986、1987、1988年の入試問題を探してみたけど、載っていませんが？
0983１３２人目の素数さん
2005/12/05(月) 02:26:090984１３２人目の素数さん
2005/12/05(月) 02:30:38つまり、どういうことだ？
0985１３２人目の素数さん
2005/12/05(月) 03:07:050986１３２人目の素数さん
2005/12/05(月) 13:15:41置いとくネ
0987１３２人目の素数さん
2005/12/05(月) 13:24:38正解です。任意のnでf(n)=15となります。
0988１３２人目の素数さん
2005/12/05(月) 18:00:000989１３２人目の素数さん
2005/12/05(月) 19:22:050990１３２人目の素数さん
2005/12/05(月) 19:23:34乙πです。
やはり載っていないではないか！
＿＿＿ ｵﾗｯ!
ﾄﾞｯｶﾝ | | 出て来い >>980
∩∩ | | | ∩∩
| | | | | | | | | | |
..( ,,) .| | | (・ｘ・ ）
/ .つ━━ﾛ|ﾛ ﾄﾞｶﾝ l |Ｕ
～（ / | ｜ |⊂＿ |～
し'∪ | | | ∪
￣￣￣￣
0991１３２人目の素数さん
2005/12/05(月) 19:24:29このとき、正方形の中から適当に100個の点を選び、どちらの方法でも各部分にちょうど1点ずつ点が入っているように出来ることを示せ。
0992９８０
2005/12/05(月) 20:20:08皆様、ご迷惑をおかけしました。
京大ではありませんでした。鳥取大学でした
0993１３２人目の素数さん
2005/12/05(月) 20:22:320994９８０
2005/12/05(月) 20:28:35９９３が釣れました。
0995１３２人目の素数さん
2005/12/05(月) 20:29:020996１３２人目の素数さん
2005/12/05(月) 20:29:460997１３２人目の素数さん
2005/12/05(月) 20:30:100998１３２人目の素数さん
2005/12/05(月) 20:30:390999９８０
2005/12/05(月) 20:31:021000１３２人目の素数さん
2005/12/05(月) 20:31:021001１００１
Over 1000Threadもう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。