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FのフィルターXに対してI(X)={a|Z(a)∈X}とさだめる。
StepI) IのフィルターXに対してU(I(X))=Xをしめす。
X⊂U(I(X))はXの元Sに対しZ(a)=Sとなるaをとれば（かならずとれることは容易）
a∈I(X)。よってS∈U(I(X))である。逆にS∈U(I(X))をとる。定義からS=Z(a)、a∈I(X)
なるaがとれる。このときa∈I(X)からZ(a)=T∈Xである。よってS=Z(a)=TよりS∈U(I(X))。
StepII) I(X)はイデアルであることを示す。実際a∈I(X)、b∈RとするとZ(a)⊂Z(ab)、
Z(a)∈X、XはフィルターだからZ(ab)∈X。さらにa,b∈I(X)とするとZ(a)∩Z(b)⊂Z(a+b)
であるからやはりZ(a+b)∈X。
StepIII) I(X)がプロパーイデアルでないならXは空集合を含むフィルターであることをしめす。
実際1∈I(X)ならφ=Z(1)∈Xだからである。
以上から主張をしめす。mを極大イデアル、U(m)⊂Xをフィルターで空集合を含まないとする。
このときm⊂I(U(m))⊂I(X)。mの極大性からI(X)=mであるかI(X)はプロパーイデアルでない。
しかしStepIIIと仮定からそれはない。よってI(X)=m。
よってStepIよりX=U(I(X))=U(m)。これでU(m)の極大性がいえた。