そもそも零点定理って代数閉体k上有限生成の体はkにかぎられるって話がミソで
成立してる定理だけど無限生成だとk自身ではない拡大体があるから
共通零点がとれるとはかぎらないんじゃないの？すくなくとも>>333の意味では
答えはNoだからその無限生成多項式環のイデアルにうまく位相をいれなきゃ成立しないけど
どういう位相いれるつもりなの？