Ｒを可換環，ＩをＲのイデアルとするとき「Ｒ/Ｉが体⇒ＩはＲの極大イデアル」
であることを示そうとしているのですが、途中で行き止まってしまいました。

Ｒ/Ｉは体だから
　∀ａ＋Ｉ≠Ｉ　（ａ∈Ｒ）　に対し
（ａ＋Ｉ）（ｂ＋Ｉ）＝１＋Ｉ　（∃ｂ∈Ｒ）
１＋Ｉ＝ａｂ＋Ｉ
⇔１−ａｂ∈Ｉ
よって　１−ａｂ＝α　（∃α∈Ｉ）
１＝α＋ａｂ
ＩがＲの極大イデアルではない、即ちＩ⊂≠Ｊ⊂≠ＲとなるイデアルＪが
存在すると仮定する。

　背理法で示せばいいとは思うのですが、ここからどのように示せば良いの
ですか？
よろしくお願いします。