自然数n≧3に対して、次の不等式が成り立つことを示せ
n^n＜(n!)^2・・・・・・・・A

解答）
①n=3のとき (左辺)=3^3=9、(右辺)=(3!)^2=36、よってAは成り立つ
②n=k(k≧3の自然数)のときAが成り立つと仮定すると
k^k＞(k!)^2
n=k+1のときを考えると
{(k+1)!}^2-(k+1)^(k+1)
=(k!)^2*(k+1)^2-(k+1)^(k+1)＞k^k*(k+1)^2-(k+1)^(k+1)=k^(k-1)*(k+1)^2*{k-(1+(1/k))^(k-1)}
ここでr≧1のとき
(k-1)C(r)*(1/k)^r=〔{(k-1)!}/{r!*(k-1-r)!}〕*{1/(k^r)}
={(k-1)(k-2)・・・・・(k-r)}/{r!*k^r}
={1-(1/k)}{1-(2/k)}・・・・・・{1-(r/k)}*{1/r!}＜1

何で＜1って判断できるんですか？根拠がわかりません。
連続でもうしわけございませんが、宜しくお願い致します、、、