>>848
とりあえず、（回答がほしいなら）
この数列の問題の分かるまで他の質問はしないように。
あと、もし納得する答えをもらえたらちゃんとお礼を言うように。
私は何度か説明して、納得してもらえなかったから、解き方だけでも書いとこうと思う。

まず、>>特性方程式が何なのか
a[n+1]=pa[n]+qを満たす数列の特性方程式はx=px+q.
（具体的には数列{3,8,18,38...}は8=2*3+2,18=2*8+2...つまりa[n+1]=2a[n]+2をみたすから、
この数列の特性方程式はx=2x+2.因みにこの解は-2（解のことは自分で考えてください。））
で、最終的に一般項を求めたいわけだけど、
特性方程式の解をαとするとα=pα+q,（具体的には-2=2*(-2)+2）だから、
a[n+1]=pa[n]+q,（具体的にはa[n+1]=2a[n]+2）の両辺からこれを引いて、
(a[n+1]-α)=p(a[n]-α)が得られる。
（具体的には、a[n+1]+2=2(a[n]+2).
実際、a[n]+2という数列は、a[n]が{3,8,18,38...}だから、
{5,10,20,40...}でこれは10=2*5,20=2*10,40=2*20...となっている。
a[1]+2=5,a[2]+2=10,a[3]+2=20...だからa[n+1]+2=2(a[n]+2).）
ここで、(a[n+1]-α)=p(a[n]-α)という式は数列a[n]-αは
前の項をp倍すると次の項になる
（具体的にa[n+1]+2=2(a[n]+2)は、5を2倍して10,10を2倍して20...）
ことを示していて、言い換えれば、
数列a[n]-αが初項a[1]-α（具体的にはa[1]+2=5）、公比p（具体的には2）の等比数列をなすということである。
（具体的には{5,10,20,40...}は初項5、公比2の等比数列）
したがって数列a[n]-αの一般項はa[n]-α=(a[1]-α)p^(n-1)となる。
（具体的には{5,10,20,40...}の一般項はa[n]+2=5*2^(n-1).
実際、5=5*2^0,10=5*2^1,20=5*2^2=5*4...）
したがって、a[n]=(a[1]-α)p^(n-1)+αと数列a[n]の一般項が求められる。
（具体的にはa[n]=5*2^(n-1)-2.実際、a[1]=5*2^0-2=5-2=3,a[2]=5*2^1-2=10-2=8,a[3]=5*2^2-2=5*4-2=18...
だから、a[n]=5*2^(n-1)-2という式は数列{3,8,18,38...}の一般項を表す式である。）