「方程式　x^log10 x　＝　1000x＾2　を解け」
を2通りの解き方をしてみたのですが、解答１のどこが間違っているかわかりません。
【解答１】
真数条件より
　　x＞0
ここで、x＝1とすると
　　1^log10 1　＝　1000
　∴1　＝　1000
これは矛盾、よってx≠1
従って、底の変換公式を用いて、左辺の指数部分は
　　log10 x　＝　1/logx 10
　　　　　　 ＝　(logx 10)^(-1)
となるので、与方程式は
　　x^(logx 10)^(-1)　＝　1000x^2
　∴10^(-1)　＝　1000x^2
　∴x^2　＝　1/10000
　∴x　＝　1/100　(∵x＞0)

【解答２】
両辺の常用対数をとると
　　log10 x^(log10 x)　＝　log1000x^2
　∴(log10 x)^2　＝　log10 1000　＋　log10 x^2
　　　　　　　　　 　3　＋　2log10 x
　∴(log10 x)^2　−2log10 x　−3　＝　0
　∴log10 x　＝　−1、3
　∴x　＝　1/10、1000　

参考書の解答を見ると【解答２】の答えとあってるのですが、
【解答１】のどこが間違っているかわかりません。どなたかご指摘お願いします。
長くなってすいません。