>>677前半
まず、「a>0,a≠0,M>0の時」というのは、 「a>0,a≠1,M>0」の間違いだろう。
質問についてだが、

任意のa>0,a≠1,M>0なるa,Mに対して、
a^p=M・・・(1)を満たす実数pがただ一つ定まり、
このとき、
p=log[a]M
と表すことにする

という意味。

どれが変数なのか、という疑問だが、(1)において、
a,p,Mの3つとも変数だ。
a>0,a≠1,M>0を満たすなら、自由に数を代入してよい。
ただし、何でもいいという訳ではない。
(1)の等号が成立するようにしなければならない。
たとえば、M=4,a=2と定めたら、自動的にpは2に決定する。
逆に、a=3,p=3と定めたら、自動的にMは27に決定する。

a>0,a≠1,M>0という条件を付ける理由だが、
a≠1は、1は何乗しても1にしかならないから。
a>0は、aがもし負の数、たとえば-2だと、
２乗すると+4、3乗すると-8、4乗すると+16というふうに、
+と-を行ったり来たりして扱いにくい上に、
2分の1乗はルートの中に入れることだから、
負の数を2分の1乗すると虚数になってしまって、
いろいろと面倒くさいから正の数に限定している。
M>0は、正の数を何乗しても、負の数にはならないから。

指数と対数を表裏一体のものとして考えるのが重要。