３．面積と定積分

曲線ｙ＝ｆ（ｘ）、ｘ軸、直線ｘ＝ａ、直線ｘ＝ｔで
囲まれた部分の面積をＳ（ｔ）とする。
ｔが動くときＳ（ｔ）はｔの関数である。
Ｓ（ｔ）をｔで微分してみる

Ｓ’（ｔ）＝lim［⊿ｔ→０］　（Ｓ（ｔ＋⊿ｔ）－Ｓ（ｔ））/⊿ｔ

ここでＳ（ｔ＋⊿ｔ）－Ｓ（ｔ）は
曲線ｙ＝ｆ（ｘ）、ｘ軸、直線ｘ＝ｔ、直線ｘ＝ｔ＋⊿ｔ
で囲まれる部分の面積であるが、
これは⊿ｔが小さいとき
縦がｆ（ｔ）横が⊿ｔの長方形で近似でき、その面積はｆ（ｘ）⊿ｔである。

よって
Ｓ’（ｔ）＝lim［⊿ｔ→０］　（Ｓ（ｔ＋⊿ｔ）－Ｓ（ｔ））/⊿ｔ
　　　　＝lim［⊿ｔ→０］　（ｆ（ｔ）⊿ｔ）／⊿ｔ
　　　　＝ｆ（ｔ）

Ｓ（ｔ）はｆ（ｔ）の原始関数であることがわかった。