杉浦解析入門Ｉを少しばかりかじった程度なので突っ込みどころ満載の可能性がありますが大目に見てください
「0でない任意の実数aに対してaa'=1となる実数a'（aの逆元）が存在する」
というのが逆元の定義ですよね
この定義から「0でない」という縛りを除いて
「任意の実数aに対してaa'=1となる実数a'（aの逆元）が存在する」
としたときに矛盾が起これば「0の逆元」は定義しないとすべきですよね
0の定義より、0は実数で、任意の実数aに対してa+0=aですからa=0として
0=0+0となります。これと積の交換律、分配律、「任意の実数aに対して実数-aが存在してa+(-a)=0となる」ことから
任意の実数aに対して
0a=(0+0)a
0a=0a+0a
0a+(-0a)=0a+0a+(-0a)
0=0a+0
0=0a
であります。この結果と「1≠0」（0以外の元の存在）より
0a=1≠0なる実数aは存在しないことになります。ところが「0の逆元」である実数0'が存在すると
定義してあるので、00'=1となり矛盾します。よって実数に関するその他の定義をすべて採用する限り
「0の逆元」は定義してはならないのではないでしょうか