208に関して、論点を絞ってみる。
おそらく、極大イデアルがわかっていないのだと思います。
可算個の変数　Ｘi （i=1,2,3,....）に対して、
体ｋ上の多項式環ｋ[Ｘi]はネーター環ではない。
なぜなら、
ｋ[Ｘ1] ⊂ ｋ[Ｘ1,X2] ⊂ ・・・ ⊂ ｋ[Ｘ1,…,Xn] ⊂ ・・・
というイデアル無限列がとれるから。
では、例えば
ｋ[Ｘ1,X2] を含む極大イデアルって、どういうモノがあるんでしょうか？
ｋ[Ｘ1,X2,X3,…,Xn](少なくとも変数を3つ含む多項式環)が「ｋ[Ｘ1,X2] を含む極大イデアル」に該当しないのは理解できるのですが。