Re:>40
いや、角度の定義を明らかにしないとこれは証明できないんだよ。
とりあえず、やっつけでやってみよう。(他にもっとまともな定義がある。)
空間に点A,B,Cがあって、それぞれは互いに異なる位置にあるとする。
cos(角BAC)を定義しよう。
Aが原点の場合は、B,Cの位置ベクトルをb,cとするとき、cos(角BAC)=b·c/(|b||c|)とする。
(この定義だと角BACが劣角か優角かが定まらず、sinを計算するとき困る。この問題を解消するには、動径を考えればよい。(動径をどう考えるかがまた問題だ。))
とりあえず、角BACは0以上π以下の値をとるとする。
Aが一般の位置にある場合は、平行移動して同様に定義する。
さて、Oを原点として、Bがx軸の正の部分にあり、Cはxy平面上にあってy座標が正とする。
Bのx座標をa,Cのx座標をa,Cのy座標をbとすると、
ベクトルBOとベクトルBCの内積は、0であり、角OBCはπ/2になる。そして、cos(角BOC)=a/√(a^2+b^2)である。
後は、OC,OB,BCの関係を調べればよい。
OC=√(a^2+b^2),OB=a,BC=bであり、OB/OC=cos(角BOC),BC/OC=b/√(a^2+b^2)=√(1-cos(角BOC))=sin(角BOC)が成り立つ。
(角度の定義が不十分だったが、これで少なくともcosと内積の関係が分かれば十分であることが分かる。)
(ごく特別な場合にしかやってないが、直交変換で内積は不変であるという事実に注意しよう。)