Langの本には円の面積の求め方が何故か書いてない
それはともかくまずは「cosαsinα≦α≦sinα/cosα」を示す方針だけ書きます
<じゃなくて≦にします

仮定：0<α<π/2 とする。そして座標を A=(a,b) B=(1,0) O=(0,0) とおいて、b>0 とする
step1：0<a,b<1 を示す
step2：C=(a,0) D=(1,b/a) を示す
step3：扇AOB={(x,y)|0≦x　0≦y≦bx/a　x^2+y^2≦1} を示す
step4：直線 x=t と△AOC、扇AOB、△DOBそれぞれの共通集合を P(t),Q(t),R(t) とおくと
　　　　t<0 か 1<t なら P(t)=Q(t)=R(t)={} で、0≦t≦aなら P(t)=Q(t)=R(t)={(t,y)|y∈[0,bt/a]}
　　　　a<t≦1 なら P(t)={} Q(t)={(t,y)|y∈[0,sqr(1-t^2)]} R(t)={(t,y)|y∈[0,b(1-x)/(1-a)]} だと示す
step5：△AOC⊂扇AOB⊂△DOBを示す
step6：△AOCの面積=cosαsinα/2　△DOBの面積=sinα/2cosα を示す
step7：扇AOBの面積=α/2を示す
step8：cosαsinα≦α≦sinα/cosαを示す

というかLangはどうやってstep7を循環せずに説明するつもりだったんだろう