sinを定義するにはexpを定義すれば十分であろう。
(ここではsin(z)=(exp(iz)-exp(-iz))/(2i)である。)
さて、exp(z)=∑_{n=1}^{∞}z^n/n!だが、
これの収束半径が∞であることが重要である。
ダランベールの判定法の適用を試みることにすると、
(z^(n+1)/(n+1)!)/(z^n/n!)=z/(n+1)→0 as n→∞であるから、
exp(z)の収束半径は∞である。
(さらにいうと、この級数は絶対かつ広義一様収束する。)