>>15-16
たいていは、そこで凸性を使う。

「曲線の長さ＝折れ線の長さの上限」で定義すると、定義自体には
微積分はいらない。凸性があるので、円の場合は
「折れ線＝内接多角形」となる。

そこで、>>9 に示されているように、
「任意の内接多角形の長さ＜1-cosx+sinx」
は、明らか。よって、実数の連続性から上限 x は存在して
「x ≦ 1-cos x+sin x 」
（実際には等号は成り立たない）

高校教科書のように「x ＜tan x 」を厳密に示そうと難しい。
「凸なら、外接する折れ線の長さ＞弧の長さ」を示すことになる。

x ≦ 1-cos x+sin x のほうが簡単なのだが「上限」の説明が難しいね。
むろん、x が小さいときは tan x ＜ 1-cos x+sin x 。