>>171の方法は積分論をかなり準備しなきゃいけないので教える方としては辛いと思う。
弧長の逆函数として得られる函数はいくつかあるので、そういう方法は知っておくべきだけどね。

>>176がいうように、e^ix＝cos x + i * sin xから出発すれば
cos x、sin xの級数表示は自然に得られるし、数学的な準備はそっちの方が楽。