f：R→Rは原点以外の任意の点xに対して微分可能であり、しかもα＝lim[x→0]f’(x)が
存在するとする。このとき、ロピタルの定理からlim[x→0]f(x)/x＝αが成り立つ。

上記のfの、原点以外での微分可能性が、lim[x→0]f(x)/x＝α という式を使わずに
示せているのならば、lim[x→0]f(x)/x＝αという式をロピタルの定理で以って導く
ことは 循 環 論 法 で は な い 。

三角関数を整級数を使って定義しておく。ここで、lim[x→0]sinx/x＝1を証明したい。
f(x)＝sinx＝Σ[i＝0〜∞]x^(2i＋1)(-1)^i/(2i＋1)！とおく。fの原点以外での微分可能性は、
f’(x)
＝lim[h→0]{sin(x＋h)−sinx}/h　(f'の定義より)
＝lim[h→0]Σ[i＝0〜∞]{(x＋h)^(2i＋1)−x^(2i＋1)}(-1)^i/{h(2i＋1)！}
＝Σ[i＝0〜∞]lim[h→0]{(x＋h)^(2i＋1)−x^(2i＋1)}(-1)^i/{h(2i＋1)！} (極限の順序交換が可能。証明は略)
＝Σ[i＝0〜∞]x^(2i)(-1)^i/(2i)！
＝cosx
となる。lim[x→0]sinx/x＝1という式を使わずに、原点以外での微分可能性が
示せていることに注意する。このとき、
lim[x→0]sinx/x
＝lim[x→0]f(x)/x
＝lim[x→0]f’(x)　(ロピタルの定理)
＝lim[x→0]cosx
＝1
となる。よって、lim[x→0]sinx/x＝1が成り立つ。この証明は循環論法では無い。