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αを実数とする。
　(π^n)sin(nπ/2 +α) = (π^n){ exp[i(nπ/2 +α)] - exp[-i(nπ/2 +α)] }/(2i)
　= {exp(iα)[π･exp(iπ/2)]^n - exp(-iα)[π･exp(-iπ/2)]^n }/(2i)
　= { exp(iα)(iπ)^n - exp(-iα)(-iπ)^n }/(2i)
ここで exp のマクローリン展開 exp(z)=Σ[n=0,∞) (1/n!)z^n を使うと、
　X = { exp(iα)exp(iπ) -exp(-iα)exp(-iπ)}/(2i)
ここで exp(±iπ)=-1 (オイラーの贈り物)を使うと、
　X = -{exp(iα) -exp(-iα)}/(2i) = - sin α.